어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수와 삼차함수의 성질, 그리고 함수의 연속성과 미분가능성을 결합한 고난도 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정적분과 미분의 관계: $\frac{d}{dx} \int_0^x f(t)dt = f(x)$ (단, $f(x)$는 연속함수)
- 미분가능성: 어떤 함수가 실수 전체에서 미분가능하려면, 모든 점에서 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다.
- 방정식의 실근의 개수: 함수 $y=f(x)$의 그래프와 직선 $y=x$의 교점의 개수를 통해 실근의 개수를 파악할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: $g(x)$의 미분가능성을 이용해 $f(0)$ 구하기 (ㄱ 확인)
함수 $g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 '삼차함수'입니다. 다항함수인 삼차함수는 실수 전체의 집합에서 미분가능합니다. 따라서 $x=0$에서도 당연히 미분가능해야 합니다.
먼저 $g(x)$의 식을 다시 보겠습니다.
$$g(x) = \begin{cases} -\int_0^x f(t)dt & (x < 0) \\ \int_0^x f(t)dt & (x \ge 0) \end{cases}$$
$f(x)$가 연속함수이므로, 정적분으로 정의된 함수 $\int_0^x f(t)dt$는 미분가능합니다. $g(x)$를 $x \neq 0$인 구간에서 미분해 봅시다.
$$g'(x) = \begin{cases} -f(x) & (x < 0) \\ f(x) & (x > 0) \end{cases}$$
$g(x)$가 $x=0$에서 미분가능하려면 $x=0$에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다.
- 좌미분계수: $\lim_{x \to 0^-} g'(x) = -f(0)$
- 우미분계수: $\lim_{x \to 0^+} g'(x) = f(0)$
이 두 값이 같아야 하므로,
$$-f(0) = f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0$$
따라서 ㄱ은 참입니다. 동시에 $g'(0) = 0$임도 알 수 있습니다.
2단계: 삼차함수 $g(x)$와 $f(x)$의 구체적인 식 세우기
$g(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 다음과 같이 둘 수 있습니다.
$$g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$
우리가 알고 있는 단서들을 적용해 봅시다.
- $g(0) = \int_0^0 f(t)dt = 0$ 이므로, $c = 0$ 입니다.
- 1단계에서 구한 $g'(0) = 0$ 이므로, $b = 0$ 입니다. (왜냐하면 $g'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ 이기 때문입니다.)
따라서 $g(x)$는 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$g(x) = x^3 + ax^2$$
$$g'(x) = 3x^2 + 2ax$$
이제 이를 이용해 $f(x)$의 식을 구해보면 다음과 같습니다.
$$f(x) = \begin{cases} -g'(x) = -3x^2 - 2ax & (x < 0) \\ g'(x) = 3x^2 + 2ax & (x \ge 0) \end{cases}$$
3단계: $f(x)$가 항상 극댓값을 갖는지 확인하기 (ㄴ 확인)
상수 $a$의 값에 따라 $f(x)$의 그래프 개형이 어떻게 달라지는지 분석해 봅시다.
- **경우 1: $a > 0$ 일 때**
- $x < 0$ 영역에서 $f(x) = -3x^2 - 2ax = -3x(x + \frac{2}{3}a)$ 입니다. 위로 볼록한 이차함수이며, 축의 방정식이 $x = -\frac{a}{3} < 0$ 이므로 이 지점에서 극댓값을 가집니다.
- **경우 2: $a < 0$ 일 때**
- $x < 0$ 영역에서 $f(x)$는 위로 볼록하고 축이 양수 쪽에 있으므로 $x < 0$에서는 계속 증가합니다.
- $x > 0$ 영역에서 $f(x) = 3x^2 + 2ax = 3x(x + \frac{2}{3}a)$ 입니다. 아래로 볼록한 이차함수이며, 축의 방정식이 $x = -\frac{a}{3} > 0$ 이므로 $x > 0$ 영역에서 감소하다가 증가합니다.
- 이 경우, $x=0$을 기준으로 왼쪽에서는 증가하고 오른쪽에서는 감소하므로 $x=0$에서 극댓값 $f(0)=0$을 가집니다.
- **경우 3: $a = 0$ 일 때**
- $f(x) = \begin{cases} -3x^2 & (x < 0) \\ 3x^2 & (x \ge 0) \end{cases}$ 입니다.
- 이 함수는 실수 전체에서 계속 증가하는 함수이므로 극댓값을 갖지 않습니다.
$a=0$일 때 극댓값을 갖지 않는 반례가 존재하므로, ㄴ은 거짓입니다.
4단계: 조건 $2 < f(1) < 4$일 때, $f(x)=x$의 실근 개수 구하기 (ㄷ 확인)
먼저 주어진 조건으로 $a$의 범위를 구해봅시다. $1 > 0$ 이므로 $f(1)$은 아래 식을 따릅니다.
$$f(1) = 3(1)^2 + 2a(1) = 3 + 2a$$
$$2 < 3 + 2a < 4 \implies -1 < 2a < 1 \implies -\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}$$
이제 방정식 $f(x) = x$의 실근을 구간별로 나누어 구해보겠습니다.
**① $x \ge 0$ 일 때**
$$3x^2 + 2ax = x \implies x(3x + 2a - 1) = 0$$
따라서 근은 $x = 0$ 또는 $x = \frac{1-2a}{3}$ 입니다.
이때 $a < \frac{1}{2}$ 이므로 $2a < 1 \implies 1-2a > 0$ 입니다.
즉, $\frac{1-2a}{3} > 0$ 이므로 이 값은 $x \ge 0$ 범위에 속하는 유효한 실근입니다.
따라서 이 구간에서 실근은 **$0$과 양수 근 $1$개, 총 2개**가 존재합니다.
**② $x < 0$ 일 때**
$$-3x^2 - 2ax = x \implies 3x^2 + (2a+1)x = 0 \implies x(3x + 2a + 1) = 0$$
우리는 $x < 0$인 근을 찾고 있으므로, $x = -\frac{2a+1}{3}$ 이 음수인지 확인해야 합니다.
이때 $a > -\frac{1}{2}$ 이므로 $2a > -1 \implies 2a+1 > 0$ 입니다.
따라서 $-\frac{2a+1}{3} < 0$ 이 되므로, 이 값 역시 $x < 0$ 범위에 속하는 유효한 실근입니다.
따라서 이 구간에서 음수 근 1개가 존재합니다.
종합하면, 방정식 $f(x)=x$는 **음의 실근 1개, $0$, 양의 실근 1개로 서로 다른 3개의 실근**을 가집니다.
따라서 ㄷ은 참입니다.
답
정답은 ④ ㄱ, ㄷ 입니다.
확인해보기
만약 문제의 조건에 **"삼차함수 $g(x)$가 극값을 갖는다"라는 조건이 추가된다면, 보기 ㄴ**은 참이 될까요, 아니면 여전히 거짓이 될까요? 그 이유를 오늘 배운 $g(x) = x^3 + ax^2$의 식과 연결지어 스스로 생각해 보세요!