어떤 문제인가
이 문제는 주어진 규칙에 따라 변하는 수열 $\{a_n\}$에서, 첫 번째 항 $a_1 = 0$으로 시작하여 22번째 항 $a_{22}$가 다시 $0$이 되도록 하는 자연수 $k$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 수열의 귀납적 정의: 이전 항의 값에 따라 다음 항이 어떻게 결정되는지 규칙을 이해합니다.
- 더한 횟수와 뺀 횟수의 관계: $a_1=0$에서 출발하여 $a_{22}=0$이 되려면, 더하는 행동과 빼는 행동을 각각 몇 번씩 해야 하는지 방정식으로 세웁니다.
- 정수 조건과 부정방정식: $k$가 자연수라는 조건을 이용하여 가능한 해를 제한하고 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 수열의 움직임 이해하고 식 세우기
수열의 규칙을 살펴봅시다.
- $a_n \le 0$ 이면, 다음 항은 $\frac{1}{k+1}$을 더합니다. (양의 방향으로 이동)
- $a_n > 0$ 이면, 다음 항은 $\frac{1}{k}$을 뺍니다. (음의 방향으로 이동)
우리는 $a_1 = 0$에서 시작해서 $a_{22} = 0$이 되는 상황을 원합니다.
$a_1$에서 $a_{22}$까지 가려면 총 $22 - 1 = 21$번의 단계를 거쳐야 합니다.
이 21번의 단계 중에서,
- $\frac{1}{k+1}$을 더하는 횟수를 $p$번,
- $\frac{1}{k}$을 빼는 횟수를 $q$번이라고 해봅시다.
그러면 전체 단계 수는 21번이므로 다음 식이 성립합니다.
$$p + q = 21 \quad \text{--- (1)}$$
또한, $a_1 = 0$에서 시작해서 최종 결과 $a_{22}$도 $0$이 되어야 하므로, 더하고 뺀 총합(변화량)은 $0$이 되어야 합니다.
$$p \left(\frac{1}{k+1}\right) - q \left(\frac{1}{k}\right) = 0 \quad \text{--- (2)}$$
2단계: $k$에 대한 관계식 정리하기
식 (2)를 정리하여 $k$와 $p, q$ 사이의 관계를 만들어 봅시다.
$$\frac{p}{k+1} = \frac{q}{k}$$
양변에 $k(k+1)$을 곱하면 다음과 같습니다.
$$p k = q(k+1)$$
$$p k = q k + q$$
$$(p - q)k = q \quad \text{--- (3)}$$
이제 식 (1)에서 $p = 21 - q$이므로, 이를 식 (3)에 대입합니다.
$$(21 - q - q)k = q$$
$$(21 - 2q)k = q$$
이를 $k$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$k = \frac{q}{21 - 2q} \quad \text{--- (4)}$$
3단계: 자연수 조건으로 가능한 $k$ 구하기
문제에서 $k$는 자연수라고 했습니다. 또한 $q$는 뺀 횟수이므로 자연수($q > 0$)여야 합니다.
$k > 0$이고 $q > 0$이므로, 식 (4)의 분모인 $21 - 2q$도 반드시 양수여야 합니다.
$$21 - 2q > 0 \implies 2q < 21 \implies q \le 10$$
즉, $q$는 $1$부터 $10$까지의 자연수만 가능합니다. 이 중에서 $k = \frac{q}{21 - 2q}$가 자연수(정수)가 되도록 하는 $q$를 찾아봅시다.
- $q = 1 \implies k = \frac{1}{19}$ (자연수 아님)
- $q = 2 \implies k = \frac{2}{17}$ (자연수 아님)
- $q = 3 \implies k = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ (자연수 아님)
- $q = 4 \implies k = \frac{4}{13}$ (자연수 아님)
- $q = 5 \implies k = \frac{5}{11}$ (자연수 아님)
- $q = 6 \implies k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ (자연수 아님)
- $q = 7 \implies k = \frac{7}{7} = 1$ (자연수!)
- $q = 8 \implies k = \frac{8}{5}$ (자연수 아님)
- $q = 9 \implies k = \frac{9}{3} = 3$ (자연수!)
- $q = 10 \implies k = \frac{10}{1} = 10$ (자연수!)
따라서 가능한 자연수 $k$의 값은 $1, 3, 10$입니다.
4단계: 실제 수열에서 성립하는지 검증하고 합 구하기
구한 $k$ 값들이 실제로 수열의 규칙에 맞게 $a_{22}=0$을 만드는지 확인해 봅시다.
- **$k=1$일 때**: 더할 때는 $+1/2$, 뺄 때는 $-1$입니다.
$a_1=0 \to a_2=1/2 \to a_3=-1/2 \to a_4=0 \dots$과 같이 3번마다 $0$으로 돌아오는 주기성을 가집니다. $22 = 3 \times 7 + 1$이므로 $a_{22} = 0$이 잘 성립합니다.
- **$k=3$일 때**: 더할 때는 $+1/4$, 뺄 때는 $-1/3$입니다.
이 경우에도 계산해 보면 7번마다 $0$으로 돌아오는 주기를 가집니다. $22 = 7 \times 3 + 1$이므로 $a_{22} = 0$이 성립합니다.
- **$k=10$일 때**: 더할 때는 $+1/11$, 뺄 때는 $-1/10$입니다.
이때는 주기를 가지지 않고 매번 조금씩 작아지다가, 딱 21번째 단계($a_{22}$)에서 정확히 $0$에 도달하게 됩니다.
따라서 구한 모든 $k$의 값의 합은 다음과 같습니다.
$$1 + 3 + 10 = 14$$
답
정답은 **② $14$** 입니다.
확인해보기
위에서 설명한 논리를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 문제에서 $a_{22} = 0$ 대신 **$a_{16} = 0$**이 되도록 하는 자연수 $k$의 값을 구하라고 했다면, 총 이동 횟수($p+q$)는 몇 번이 되어야 할까요? 그리고 이때 가능한 자연수 $k$의 값은 무엇이 있을까요? (직접 식을 세워 풀어보세요!)