어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질과 정의를 이용하여 주어진 로그방정식을 만족하는 실수 $x$의 값을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 진수 조건: 로그가 정의되기 위해서는 로그의 진수(괄호 안의 식)가 반드시 양수($>0$)여야 합니다. (가장 중요하고 실수하기 쉬운 부분이에요!)
- 로그의 성질: 밑이 같은 두 로그의 합은 진수의 곱으로 나타낼 수 있습니다. ($\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$)
- 로그의 정의: 로그 식은 지수 식으로 바꿀 수 있습니다. ($\log_a Y = X \Longleftrightarrow Y = a^X$)
단계별 풀이
1단계: 진수 조건 확인하기
로그 문제를 풀 때는 가장 먼저 진수 조건을 확인해서 $x$가 가질 수 있는 값의 범위를 제한해야 합니다. 나중에 구한 답이 이 범위에 맞지 않으면 답이 될 수 없기 때문이에요.
주어진 식 $\log_2(x+2) + \log_2(x-2) = 5$에서 진수는 $(x+2)$와 $(x-2)$입니다. 이 두 식은 모두 양수여야 합니다.
- $x+2 > 0 \Longrightarrow x > -2$
- $x-2 > 0 \Longrightarrow x > 2$
이 두 조건을 동시에 만족하는 $x$의 범위는 다음과 같습니다.
$$\therefore x > 2 \quad \cdots \text{ (ㄱ)}$$
2단계: 로그의 성질을 이용하여 식 정리하기
이제 좌변에 더해져 있는 두 로그를 하나의 로그로 합쳐봅시다. 밑이 $2$로 서로 같으므로, 로그의 성질($\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$)을 이용할 수 있습니다.
$$\log_2(x+2) + \log_2(x-2) = 5$$
$$\log_2\{(x+2)(x-2)\} = 5$$
괄호 안을 합차 공식($(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$)으로 전개하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$\log_2(x^2 - 4) = 5$$
3단계: 로그의 정의를 이용하여 지수 식으로 바꾸기
로그 식을 지수 형태로 바꾸어 $x$에 대한 방정식을 만들어 봅시다. $\log_2(x^2 - 4) = 5$라는 것은 밑인 $2$를 $5$제곱했을 때 진수인 $x^2 - 4$가 된다는 뜻입니다.
$$x^2 - 4 = 2^5$$
$2^5 = 32$이므로 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$x^2 - 4 = 32$$
4단계: 방정식 풀고 진수 조건과 비교하기
위에서 얻은 이차방정식을 풀어봅시다.
$$x^2 = 36$$
$$x = 6 \quad \text{또는} \quad x = -6$$
이제 마지막으로 1단계에서 구한 진수 조건 (ㄱ) $x > 2$를 적용해야 합니다.
구한 두 값 중에서 $x > 2$를 만족하는 값은 $6$뿐입니다. ($x = -6$은 진수 조건에 맞지 않아 로그가 정의되지 않으므로 답이 될 수 없습니다.)
따라서 구하고자 하는 실수 $x$의 값은 $6$입니다.
답
$$x = 6$$
확인해보기
오늘 배운 '진수 조건'을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 방정식 $\log_3(x-1) + \log_3(x+5) = 3$을 풀기 위해 가장 먼저 확인해야 하는 **진수 조건에 따른 $x$의 범위**는 무엇일까요? (답은 직접 구해보세요!)