어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$와 특정 지점에서의 함숫값 $f(0)$이 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 구하고 최종적으로 $f(-2)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 미분의 역연산으로, 도함수 $f'(x)$로부터 원래 함수 $f(x)$를 찾아내는 방법입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 임의의 상수입니다. 주어진 조건 $f(0) = -1$을 이용해 이 상수의 값을 결정할 수 있습니다.
단계별 풀이
1. 도함수 $f'(x)$를 부정적분하여 원래 함수 $f(x)$의 형태 구하기
미분해서 $f'(x) = 8x^3 + 6x^2$이 되는 원래의 함수 $f(x)$를 찾기 위해 부정적분을 식을 세웁니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (8x^3 + 6x^2) \, dx$$
다항함수의 적분 공식 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ (단, $C$는 적분상수)를 적용하여 각 항을 적분해 봅시다.
$$f(x) = 8 \cdot \left(\frac{1}{4}x^4\right) + 6 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3\right) + C$$
식의 계수를 정리하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^4 + 2x^3 + C$$
2. 조건 $f(0) = -1$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
우리가 구한 $f(x)$에는 아직 알지 못하는 상수 $C$가 포함되어 있습니다. 문제에서 주어진 $f(0) = -1$이라는 단서를 사용해 $C$의 값을 구해봅시다. $f(x)$ 식에 $x = 0$을 대입합니다.
$$f(0) = 2(0)^4 + 2(0)^3 + C = -1$$
계산하면 $C$만 남게 되므로, 적분상수 $C$의 값은 다음과 같습니다.
$$C = -1$$
따라서 완벽한 함수 $f(x)$의 식은 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^4 + 2x^3 - 1$$
3. $f(-2)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 식에 $x = -2$를 대입하여 최종 답을 구합니다. 거듭제곱의 부호에 주의하며 대입해 봅시다.
$$f(-2) = 2(-2)^4 + 2(-2)^3 - 1$$
각 항을 천천히 계산해 볼까요?
- $(-2)^4 = 16$ 이므로, 첫 번째 항은 $2 \cdot 16 = 32$ 입니다.
- $(-2)^3 = -8$ 이므로, 두 번째 항은 $2 \cdot (-8) = -16$ 입니다.
이 값들을 식에 넣어 계산합니다.
$$f(-2) = 32 - 16 - 1 = 15$$
답
$$15$$
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 함수 $g(x)$에 대하여 $g'(x) = 3x^2 - 4x$ 이고 $g(1) = 2$ 일 때, 함수 $g(x)$를 구하는 식을 세우고 적분상수 $C$의 값은 얼마가 될지 구해보세요.