어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 성질**을 이해하고, 이를 이용해 방정식의 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **시그마($\sum$)의 기본 성질**: 덧셈은 갈라놓을 수 있고, 상수는 앞으로 꺼낼 수 있습니다.
- 자연수의 합 공식: $1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ 입니다.
- 상수의 시그마 계산: 변수 $k$와 상관없는 상수 $a$를 $n$번 더하면 $n \times a$가 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 시그마 식 분해하기
먼저 주어진 식의 좌변인 $\sum_{k=1}^{10} (4k+a)$를 시그마의 성질을 이용해서 계산하기 쉬운 형태로 나누어 봅니다. 덧셈 기호를 기준으로 식을 쪼개고, 상수 $4$는 시그마 앞으로 꺼냅니다.
$$\sum_{k=1}^{10} (4k+a) = \sum_{k=1}^{10} 4k + \sum_{k=1}^{10} a = 4\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} a$$
2단계: 각각의 시그마 값 계산하기
이제 나누어진 두 부분의 값을 각각 구해봅시다.
- **첫 번째 부분 ($4\sum_{k=1}^{10} k$)**:
$1$부터 $10$까지의 합은 자연수의 합 공식을 사용합니다. $n=10$을 대입하면,
$$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times (10+1)}{2} = \frac{110}{2} = 55$$
여기에 앞에 곱해져 있던 $4$를 곱해줍니다.
$$4\sum_{k=1}^{10} k = 4 \times 55 = 220$$
- **두 번째 부분 ($\sum_{k=1}^{10} a$)**:
이 식은 변수 $k$가 변하는 동안 상수 $a$를 계속해서 더하라는 뜻입니다. 즉, $a$를 총 $10$번 더하는 것이므로 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} a = 10 \times a = 10a$$
3단계: 방정식을 세워 $a$ 구하기
구한 두 값을 합치면 원래의 좌변 식이 됩니다. 이 값이 $250$이라고 했으므로 방정식을 세울 수 있습니다.
$$220 + 10a = 250$$
양변에서 $220$을 빼줍니다.
$$10a = 30$$
양변을 $10$으로 나누면 $a$의 값을 구할 수 있습니다.
$$a = 3$$
답
$$3$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요. (답은 스스로 구해보는 것입니다!)
> 질문: $\sum_{k=1}^{5} (2k + b) = 40$일 때, 상수 $b$의 값은 얼마일까요?