어떤 문제인가
이 문제는 다항함수의 극대·극소(local extrema) 개념을 이용하여 미지수 $a$와 $b$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 아래의 3가지 핵심 개념을 사용합니다.
- 도함수와 극값의 관계: 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 극값을 가지면 $f'(c) = 0$입니다.
- 함수의 증감과 극대·극소 판정: 도함수 $f'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 극대, 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 극소입니다.
- 극댓값: 극대점에서의 함숫값입니다.
단계별 풀이
1단계: $x=1$에서 극값을 가질 조건을 이용하여 $a$ 구하기
함수 $f(x) = x^4 + ax^2 + b$는 모든 실수에서 미분가능한 다항함수입니다. 이 함수가 $x=1$에서 극소라고 했으므로, $x=1$에서의 미분계수(접선의 기울기)는 $0$이 되어야 합니다. 즉, $f'(1) = 0$입니다.
먼저 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다.
$$f'(x) = 4x^3 + 2ax$$
여기에 $x=1$을 대입합니다.
$$f'(1) = 4(1)^3 + 2a(1) = 4 + 2a = 0$$
이 식을 만족하는 $a$의 값을 구하면 다음과 같습니다.
$$2a = -4 \implies a = -2$$
2단계: 도함수를 완성하고 극대·극소가 되는 위치 파악하기
구한 $a = -2$를 도함수 $f'(x)$에 대입하여 식을 완성하고, $f'(x) = 0$이 되는 모든 $x$의 값을 찾아봅시다.
$$f'(x) = 4x^3 - 4x$$
이 식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$$
따라서 $f'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$입니다.
이제 $f'(x)$의 부호 변화를 표(증감표)나 그래프로 생각해보면 다음과 같습니다.
- $x < -1$ 일 때, $f'(x) < 0$ (감소)
- $-1 < x < 0$ 일 때, $f'(x) > 0$ (증가) $\rightarrow$ **$x = -1$에서 극소**
- $0 < x < 1$ 일 때, $f'(x) < 0$ (감소) $\rightarrow$ **$x = 0$에서 극대**
- $x > 1$ 일 때, $f'(x) > 0$ (증가) $\rightarrow$ **$x = 1$에서 극소**
이 분석을 통해 문제에서 주어진 대로 $x=1$에서 극소가 됨을 확인할 수 있고, **$x=0$에서 극대**가 됨을 새로 알 수 있습니다.
3단계: 극댓값이 $4$임을 이용하여 $b$ 구하기
함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극대이므로, 극댓값은 $f(0)$입니다.
문제에서 극댓값이 $4$라고 주어졌으므로 $f(0) = 4$가 되어야 합니다.
함수식 $f(x) = x^4 + ax^2 + b$에 $x=0$을 대입해 봅시다.
$$f(0) = 0^4 + a(0)^2 + b = b$$
따라서 $b = 4$입니다.
4단계: $a+b$의 값 구하기
우리가 구한 값은 $a = -2$, $b = 4$입니다.
따라서 두 상수의 합은 다음과 같습니다.
$$a+b = -2 + 4 = 2$$
답
$$2$$
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 우리가 구한 함수 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 4$는 $x=1$과 $x=-1$ 두 곳에서 극솟값을 가집니다. 이 함수의 극솟값은 얼마일까요? (직접 계산해 보세요!)