어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$에서 특정 지점의 미분계수(순간변화율)를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$
- 다항함수의 미분법: $f(x) = x^n$일 때, $f'(x) = n x^{n-1}$ (단, 상수를 미분하면 $0$이 됩니다.)
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 식의 의미 파악하기
문제에서 요구하는 식을 가만히 살펴볼까요?
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 **함수 $f(x)$의 $x=2$에서의 미분계수**, 즉 $f'(2)$를 의미합니다.
따라서 우리는 $f'(2)$의 값만 구하면 이 문제를 해결할 수 있습니다.
2단계: 도함수 $f'(x)$ 구하기
이제 함수 $f(x) = x^3 + 9$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구해봅시다.
다항함수의 미분 공식인 $(x^n)' = n x^{n-1}$과 상수를 미분하면 $0$이 된다는 성질을 이용합니다.
$$f'(x) = (x^3)' + (9)'$$
$$f'(x) = 3x^2 + 0$$
$$f'(x) = 3x^2$$
3단계: $x=2$ 대입하여 미분계수 구하기
우리가 구한 도함수 $f'(x) = 3x^2$에 $x=2$를 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f'(2) = 3 \times 2^2$$
$$f'(2) = 3 \times 4 = 12$$
따라서 구하고자 하는 극한값은 $12$입니다.
답
**② $12$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요? 다음 질문에 대해 생각해 보세요.
> 함수 $g(x) = 2x^2 + 5$가 있을 때, 극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{g(3+h) - g(3)}{h}$은 미분기호(프라임 $'$)를 사용해서 어떻게 나타낼 수 있으며, 그 값은 얼마일까요?