어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 극소 조건을 이용하여, 미지수가 포함된 이차함수 $f(x)$를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $g(x) = \int_{x}^{x+1} |f(t)| dt$의 도함수 $g'(x)$를 구하는 방법
- 함수의 극대와 극소: 도함수의 부호 변화를 통해 극소점을 찾는 개념
- 이차함수의 그래프와 부호 변화: 절댓값 기호가 포함된 식에서 $f(x)$의 부호가 어떻게 변해야 극소 조건 2개를 모두 만족할 수 있는지 분석하는 능력
단계별 풀이
1단계: $g(x)$ 미분하기
먼저 함수 $g(x)$가 어떤 변화를 보이는지 알기 위해 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다.
정적분의 기본 정리에 의해 다음과 같이 미분할 수 있습니다.
$$g'(x) = |f(x+1)| - |f(x)|$$
함수 $g(x)$가 $x=1$과 $x=4$에서 극소라는 것은, 이 지점에서 $g'(x) = 0$이 되면서 **$g'(x)$의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변한다**는 뜻입니다.
따라서 다음 두 식을 만족해야 합니다.
$$g'(1) = |f(2)| - |f(1)| = 0 \implies |f(2)| = |f(1)|$$
$$g'(4) = |f(5)| - |f(4)| = 0 \implies |f(5)| = |f(4)|$$
2단계: $f(x)$의 부호 변화 분석하기
$|f(x+1)| = |f(x)|$라는 것은 두 값의 크기가 같고 부호가 같거나 반대라는 뜻입니다.
만약 $f(x)$가 모든 실수에서 항상 양수이거나 항상 음수라면(즉, 부호 변화가 없다면), $f(x+1) = f(x)$가 되어 축의 방정식 근처에서 단 하나의 극값만 가질 수밖에 없습니다. 하지만 문제에서는 극소가 되는 점이 $x=1, x=4$로 2개 존재하므로, **이차함수 $f(x)$는 서로 다른 두 실근을 가지며 부호가 바뀌는 구간이 존재해야 합니다.**
최고차항의 계수가 $2$로 양수이므로, $f(x)$의 그래프는 아래로 볼록한 포물선입니다. 즉, $f(x)$의 부호는 $x$가 커짐에 따라 **양(+) $\to$ 음(-) $\to$ 양(+)** 순서로 변하게 됩니다.
이때 극소가 되려면 $g'(x) = |f(x+1)| - |f(x)|$의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변해야 하므로, $x$가 커질 때 $|f(x+1)|$이 $|f(x)|$보다 커지는 상황이어야 합니다.
- **$x=1$ 부근에서의 분석**:
$x$가 $1$보다 작을 때는 $|f(x+1)| < |f(x)|$이다가, $x=1$을 지나면서 $|f(x+1)| > |f(x)|$로 바뀌어야 합니다. 이는 $f(x)$의 첫 번째 부호 변화(양에서 음으로)가 일어나는 경계선 근처입니다.
따라서 $f(1) > 0$이고 $f(2) < 0$이어야 합니다.
이때 $|f(1)| = |f(2)|$이므로, 부호가 반대여서 다음 식이 성립합니다.
$$f(1) = -f(2) \implies f(1) + f(2) = 0$$
- **$x=4$ 부근에서의 분석**:
마찬가지로 $f(x)$의 두 번째 부호 변화(음에서 양으로)가 일어나는 경계선 근처입니다.
따라서 $f(4) < 0$이고 $f(5) > 0$이어야 합니다.
이때 $|f(4)| = |f(5)|$이므로, 역시 부호가 반대여서 다음 식이 성립합니다.
$$f(4) = -f(5) \implies f(4) + f(5) = 0$$
3단계: 연립방정식을 세워 $f(x)$ 구하기
최고차항의 계수가 $2$인 이차함수 $f(x)$를 다음과 같이 설정합시다.
$$f(x) = 2x^2 + bx + c$$
위에서 구한 두 식에 대입해 보겠습니다.
**식 ①: $f(1) + f(2) = 0$**
$$f(1) = 2 + b + c$$
$$f(2) = 8 + 2b + c$$
$$f(1) + f(2) = 10 + 3b + 2c = 0 \implies 3b + 2c = -10$$
**식 ②: $f(4) + f(5) = 0$**
$$f(4) = 32 + 4b + c$$
$$f(5) = 50 + 5b + c$$
$$f(4) + f(5) = 82 + 9b + 2c = 0 \implies 9b + 2c = -82$$
이제 두 식을 연립하여 $b$와 $c$를 구합니다.
식 ②에서 식 ①을 빼면:
$$(9b + 2c) - (3b + 2c) = -82 - (-10)$$
$$6b = -72 \implies b = -12$$
$b = -12$를 식 ①에 대입하면:
$$3(-12) + 2c = -10$$
$$-36 + 2c = -10 \implies 2c = 26 \implies c = 13$$
따라서 구하고자 하는 이차함수는 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^2 - 12x + 13$$
4단계: $f(0)$의 값 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $f(0)$이므로, $x=0$을 대입합니다.
$$f(0) = c = 13$$
답
$$13$$
확인해보기
만약 이차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대해 항상 양수라면(즉, $f(x) \ge 0$), 함수 $g(x)$는 최대 몇 개의 극값을 가질 수 있을까요? 도함수 $g'(x)$의 식을 유도하여 그 이유를 스스로 설명해 보세요.