어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 극소 조건을 이용하여, 미지수가 포함된 이차함수 $f(x)$를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $g(x) = \int_{x}^{x+1} |f(t)| dt$의 도함수 $g'(x)$를 구하는 방법
- 함수의 극대와 극소: 도함수의 부호 변화를 통해 극소점을 찾는 개념
- 이차함수의 그래프와 부호 변화: 절댓값 기호가 포함된 식에서 $f(x)$의 부호가 어떻게 변해야 극소 조건 2개를 모두 만족할 수 있는지 분석하는 능력
단계별 풀이
1단계: $g(x)$ 미분하기
먼저 함수 $g(x)$가 어떤 변화를 보이는지 알기 위해 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다.
정적분의 기본 정리에 의해 다음과 같이 미분할 수 있습니다.
$$g'(x) = |f(x+1)| - |f(x)|$$
함수 $g(x)$가 $x=1$과 $x=4$에서 극소라는 것은, 이 지점에서 $g'(x) = 0$이 되면서 $g'(x)$의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변한다는 뜻입니다.
따라서 다음 두 식을 만족해야 합니다.
$$g'(1) = |f(2)| - |f(1)| = 0 \implies |f(2)| = |f(1)|$$
$$g'(4) = |f(5)| - |f(4)| = 0 \implies |f(5)| = |f(4)|$$
2단계: 두 극소점에서 성립하는 식 찾기
절댓값이 같다는 조건만으로 두 함숫값의 부호를 바로 정할 수는 없습니다. $f(x)=2(x-v)^2+w$, $u=x-v+1/2$로 놓아 확인해 봅시다.
$$f(x+1)-f(x)=4u,\qquad f(x+1)+f(x)=4u^2+1+2w$$
따라서 $g'(x)=0$일 조건은
$$\{f(x+1)-f(x)\}\{f(x+1)+f(x)\}=4u(4u^2+1+2w)=0$$
입니다. $g'(x)$가 $0$이 아닌 곳에서는 이 곱과 부호가 같습니다.
극소점이 두 개이려면 오른쪽 삼차식이 서로 다른 세 근을 가져야 합니다. 그렇지 않으면 음수에서 양수로 바뀌는 곳이 한 곳뿐입니다. 세 근이 있을 때 가운데 근은 $u=0$이고 극대점이며, 양쪽 두 근이 극소점입니다. 따라서 주어진 두 극소점 $x=1,4$에서는 두 번째 인수가 $0$입니다.
즉, 필요한 두 식은
$$f(1)+f(2)=0,\qquad f(4)+f(5)=0$$
입니다.
3단계: 연립방정식을 세워 $f(x)$ 구하기
최고차항의 계수가 $2$인 이차함수 $f(x)$를 다음과 같이 설정합시다.
$$f(x) = 2x^2 + bx + c$$
위에서 구한 두 식에 대입해 보겠습니다.
식 ①: $f(1) + f(2) = 0$
$$f(1) = 2 + b + c$$
$$f(2) = 8 + 2b + c$$
$$f(1) + f(2) = 10 + 3b + 2c = 0 \implies 3b + 2c = -10$$
식 ②: $f(4) + f(5) = 0$
$$f(4) = 32 + 4b + c$$
$$f(5) = 50 + 5b + c$$
$$f(4) + f(5) = 82 + 9b + 2c = 0 \implies 9b + 2c = -82$$
이제 두 식을 연립하여 $b$와 $c$를 구합니다.
식 ②에서 식 ①을 빼면:
$$(9b + 2c) - (3b + 2c) = -82 - (-10)$$
$$6b = -72 \implies b = -12$$
$b = -12$를 식 ①에 대입하면:
$$3(-12) + 2c = -10$$
$$-36 + 2c = -10 \implies 2c = 26 \implies c = 13$$
따라서 구하고자 하는 이차함수는 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^2 - 12x + 13$$
구한 함수에서 $f(x+1)^2-f(x)^2=16(x-1)(x-5/2)(x-4)$입니다. 따라서 $g'$의 부호는 차례로 음수, 양수, 음수, 양수가 되어 $x=1,4$에서 실제로 극소임을 확인할 수 있습니다.
4단계: $f(0)$의 값 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $f(0)$이므로, $x=0$을 대입합니다.
$$f(0) = c = 13$$
답
$$13$$
확인해보기
만약 이차함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대해 항상 $0$ 이상이라면(즉, $f(x) \ge 0$), 함수 $g(x)$는 최대 몇 개의 극값을 가질 수 있을까요? 도함수 $g'(x)$의 식을 유도하여 그 이유를 스스로 설명해 보세요.