어떤 문제인가
이 문제는 주어진 로그 식의 값이 정수가 되도록 하는 자연수 $n$의 조건을 찾는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 로그의 성질: 로그의 밑을 통일하고 식을 간단하게 정리하기 (예: $\log_{a^b} x = \frac{1}{b} \log_a x$)
- 지수와 로그의 관계: 로그 식을 지수 식으로 변환하기 ($\log_a b = c \iff a^c = b$)
- 정수 조건과 부정방정식: 식의 값이 정수가 되기 위한 지수의 조건과 $n$의 범위($1 \le n \le 1000$) 제한하기
단계별 풀이
1단계: 로그 식을 단순하게 정리하기
먼저 주어진 식을 다루기 쉽도록 밑을 가장 작은 소수인 $2$로 통일해 봅시다.
밑인 $64$는 $2^6$으로 나타낼 수 있습니다. 로그의 성질을 이용해 식을 정리해 볼까요?
$$4\log_{64}\left(\frac{3}{4n+16}\right) = 4\log_{2^6}\left(\frac{3}{4(n+4)}\right)$$
로그의 밑의 지수는 로그 앞으로 나갈 때 분모로 갑니다.
$$= 4 \cdot \frac{1}{6} \log_{2}\left(\frac{3}{4(n+4)}\right) = \frac{2}{3} \log_{2}\left(\frac{3}{4(n+4)}\right)$$
2단계: 식의 값이 정수가 되는 조건 세우기
이 식의 값이 어떤 정수 $k$가 된다고 가정해 봅시다. ($k \in \mathbb{Z}$)
$$\frac{2}{3} \log_{2}\left(\frac{3}{4(n+4)}\right) = k$$
양변에 $\frac{3}{2}$을 곱하여 로그만 남겨둡니다.
$$\log_{2}\left(\frac{3}{4(n+4)}\right) = \frac{3k}{2}$$
이제 로그의 정의를 이용하여 지수 형태로 바꾸어 줍니다.
$$\frac{3}{4(n+4)} = 2^{\frac{3k}{2}}$$
3단계: $k$가 짝수여야 하는 이유 찾기
좌변의 $n$은 자연수이므로, 좌변인 $\frac{3}{4(n+4)}$은 유리수(실제로는 분수)입니다.
우변인 $2^{\frac{3k}{2}}$이 유리수가 되려면, 지수인 $\frac{3k}{2}$가 반드시 정수여야 합니다. (만약 정수가 아니라면 $\sqrt{2}$ 같은 무리수가 되어버리니까요!)
따라서 $3k$는 $2$의 배수(짝수)여야 하므로, **$k$는 짝수**여야 합니다.
$k = 2m$ ($m$은 정수)이라고 놓으면 우변의 지수는 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{3k}{2} = \frac{3(2m)}{2} = 3m$$
이를 식에 다시 대입하면 다음과 같습니다.
$$\frac{3}{4(n+4)} = 2^{3m}$$
4단계: $n$에 대한 식으로 정리하기
우리가 구하고자 하는 것은 $n$이므로, 위 식을 $n$에 대해 정리해 봅시다.
$$4(n+4) = \frac{3}{2^{3m}} = 3 \cdot 2^{-3m}$$
양변을 $4$($2^2$)로 나눕니다.
$$n+4 = \frac{3 \cdot 2^{-3m}}{2^2} = 3 \cdot 2^{-3m-2}$$
$$n = 3 \cdot 2^{-3m-2} - 4$$
5단계: 자연수 $n$의 범위 ($1 \le n \le 1000$) 적용하기
$n$은 자연수이므로 $n \ge 1$이어야 하고, 문제에서 $n \le 1000$이라고 했습니다. 즉, 다음 범위를 만족해야 합니다.
$$1 \le 3 \cdot 2^{-3m-2} - 4 \le 1000$$
각 변에 $4$를 더합니다.
$$5 \le 3 \cdot 2^{-3m-2} \le 1004$$
여기서 $n$이 정수가 되려면 $3 \cdot 2^{-3m-2}$가 정수여야 하므로, 지수 부분인 $-3m-2$는 $0$ 이상의 정수여야 합니다. (만약 음수라면 분수가 되어버립니다.)
정수 $m$의 값을 하나씩 대입해 보며 범위를 만족하는지 확인해 봅시다.
- **$m = -1$ 일 때**:
지수: $-3(-1)-2 = 1$
값: $3 \cdot 2^1 = 6$
범위 확인: $5 \le 6 \le 1004$ (만족!)
이때의 $n = 6 - 4 = 2$
- **$m = -2$ 일 때**:
지수: $-3(-2)-2 = 4$
값: $3 \cdot 2^4 = 48$
범위 확인: $5 \le 48 \le 1004$ (만족!)
이때의 $n = 48 - 4 = 44$
- **$m = -3$ 일 때**:
지수: $-3(-3)-2 = 7$
값: $3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384$
범위 확인: $5 \le 384 \le 1004$ (만족!)
이때의 $n = 384 - 4 = 380$
- **$m = -4$ 일 때**:
지수: $-3(-4)-2 = 10$
값: $3 \cdot 2^{10} = 3 \cdot 1024 = 3072$
범위 확인: $3072$는 $1004$보다 크므로 범위를 벗어납니다. (탈락!)
따라서 조건을 만족하는 자연수 $n$의 값은 $2, 44, 380$ 입니다.
6단계: 모든 $n$의 값의 합 구하기
구한 $n$의 값들을 모두 더합니다.
$$\text{합} = 2 + 44 + 380 = 426$$
답
$$426$$
확인해보기
풀이 과정의 3단계에서 "우변 $2^{\frac{3k}{2}}$이 유리수가 되려면 지수 $\frac{3k}{2}$가 정수여야 하므로 $k$는 짝수여야 한다"라고 설명했습니다.
만약 $k$가 홀수(예를 들어 $k=1$)라면, $2^{\frac{3}{2}}$은 어떤 수가 되며 왜 $n$이 자연수가 될 수 없는지 스스로 설명해 보세요.