어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $g(x)$가 실수 전체에서 연속이라는 조건과, 특정 극한값이 존재하지 않도록 하는 실수 $t$의 조건이 주어졌을 때, 함수 $g(x)$를 구체적으로 결정하여 $g(4)$의 값을 구하는 문제입니다.
우리가 주목해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 연속성: 분기점($x=0$)에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 같아야 합니다.
- 극한의 유리화와 부정형 극복: 루트($\sqrt{\quad}$)가 포함된 극한 식을 유리화하여 식을 단순하게 만듭니다.
- 극한값이 존재하지 않을 조건: 분모가 $0$으로 갈 때 분자가 어떻게 되어야 극한값이 존재하거나 존재하지 않는지 분석합니다.
단계별 풀이
1단계: $x=0$에서 $g(x)$의 연속 조건 세우기
함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로, $x=0$에서도 연속이어야 합니다. 즉, $x=0$에서의 좌극한과 우극한(함숫값)이 같아야 합니다.
각각의 식에 대입해 보면 다음과 같습니다.
- 좌극한: $\lim_{x \to 0^-} (x+3)f(x) = 3f(0)$
- 우극한 및 함숫값: $g(0) = (0+a)f(0-b) = af(-b)$
따라서 첫 번째 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$\text{[식 1] } 3f(0) = af(-b)$$
2단계: 복잡한 극한 식 단순화하기 (유리화)
문제에 주어진 극한 식을 정리해 봅시다. 분자에 루트가 있으므로 분자를 유리화해 줍니다.
분자, 분모에 $\sqrt{|g(x)| + \{g(t)\}^2} + |g(t)|$를 곱하면 식은 다음과 같이 변합니다.
여기서 $x \to -3$일 때는 $x < 0$인 영역이므로 $g(x) = (x+3)f(x)$를 대입할 수 있습니다.
따라서 $|g(x)| = |x+3||f(x)|$가 됩니다. 이를 대입하면,
3단계: 극한값이 존재하지 않을 조건 분석하기
이제 이 극한값이 존재하지 않게 만드는 $t$의 값이 오직 $-3$과 $6$뿐이라는 조건을 해석해 봅시다.
만약 $f(-3) \neq 0$이라면 어떻게 될까요?
$x \to -3$일 때 분자의 $|f(x)|$는 $0$이 아닌 상수로 가는데, 분모의 $|x+3|$은 $0$으로 갑니다.
이 경우 $g(t) \neq 0$인 모든 $t$에 대해 분모는 $0$으로 가고 분자는 $0$이 아니므로 극한값이 존재하지 않게 됩니다. 즉, 극한값이 존재하지 않는 $t$의 값이 무수히 많아지므로 조건에 모순됩니다.
따라서 반드시 **$f(-3) = 0$**이어야 합니다.
$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이므로, $f(x) = (x+3)(x-k)$로 둘 수 있습니다.
이를 대입하여 극한 식을 다시 써 봅시다. $g(x) = (x+3)^2(x-k)$이므로,
이제 $g(t)$의 값에 따라 경우를 나누어 봅시다.
- **$g(t) \neq 0$일 때**:
$x \to -3$일 때 $g(x) \to 0$이므로, 분모는 $\sqrt{0 + \{g(t)\}^2} + |g(t)| = 2|g(t)| \neq 0$으로 수렴합니다. 분자는 $|-3-k|$로 수렴하므로, 극한값이 항상 존재합니다.
- **$g(t) = 0$일 때**:
분모의 $|g(t)|$가 $0$이 되므로 극한 식은 다음과 같이 바뀝니다.
이때 $x \to -3$이면 분모는 $0$으로 가지만, 분자는 $\sqrt{|-3-k|}$라는 $0$ 또는 양수로 갑니다.
- $k = -3$이더라도 $\lim_{x \to -3} \frac{\sqrt{|x+3|}}{|x+3|} = \lim_{x \to -3} \frac{1}{\sqrt{|x+3|}} = \infty$가 되어 극한값이 존재하지 않습니다.
- $k \neq -3$이면 분자는 양수, 분모는 $0$으로 가므로 역시 극한값이 존재하지 않습니다.
결론적으로, **"극한값이 존재하지 않는다"는 것은 " $g(t) = 0$ "과 완전히 같은 말**이 됩니다!
문제에서 이 $t$의 값이 $-3$과 $6$뿐이라고 했으므로, 방정식 $g(t) = 0$의 실근은 오직 $t = -3$과 $t = 6$뿐이어야 합니다.
4단계: $f(x)$와 상수 $b$ 구하기
$g(t) = 0$의 근이 $-3$과 $6$뿐이라는 사실을 이용해 함수를 구체화해 봅시다.
$x < 0$ 영역에서 $g(x) = (x+3)^2(x-k)$입니다.
이미 $x = -3$이라는 음수 근을 가집니다. 만약 $k < 0$이고 $k \neq -3$이라면 음수 근이 하나 더 생기므로 모순입니다. 따라서 $k \ge 0$이거나 $k = -3$이어야 합니다.
$x \ge 0$ 영역에서 $g(x) = (x+a)f(x-b) = (x+a)(x-b+3)(x-b-k)$입니다.
$a > 0$이므로 $x+a = 0$의 근은 음수($-a$)가 되어 $x \ge 0$ 영역에 존재하지 않습니다.
따라서 $x \ge 0$에서의 근은 $f(x-b) = 0$에서 나와야 하며, 이 근이 바로 $6$이어야 합니다.
$f(x-b) = 0$의 두 근은 $x = b-3$과 $x = b+k$입니다.
조건에서 $b > 3$이므로 $b-3 > 0$입니다. 즉, $b-3$은 확실한 양수 근입니다.
양수 근이 오직 $6$뿐이어야 하므로,
$$b-3 = 6 \implies b = 9$$
나머지 한 근인 $b+k = 9+k$도 양수 영역에 있다면 이 값 역시 $6$이어야 합니다.
$$9+k = 6 \implies k = -3$$
($k = -3$이면 $x < 0$ 영역에서도 근이 $-3$ 하나뿐이므로 모든 조건이 완벽하게 들어맞습니다!)
따라서 우리는 다음을 알아냈습니다.
- $f(x) = (x+3)^2$
- $b = 9$
5단계: 상수 $a$ 구하고 $g(4)$ 계산하기
이제 1단계에서 세워둔 연속 조건 [식 1]에 대입하여 $a$를 구합시다.
$$3f(0) = af(-9)$$
$f(x) = (x+3)^2$이므로,
- $f(0) = 3^2 = 9$
- $f(-9) = (-9+3)^2 = 36$
이를 대입하면,
$$3 \times 9 = a \times 36 \implies 27 = 36a \implies a = \frac{3}{4}$$
이제 $x \ge 0$일 때의 함수 $g(x)$를 완성할 수 있습니다.
$$g(x) = \left(x+\frac{3}{4}\right)f(x-9) = \left(x+\frac{3}{4}\right)(x-6)^2$$
우리가 구하고자 하는 $g(4)$의 값은 다음과 같습니다.
$$g(4) = \left(4+\frac{3}{4}\right)(4-6)^2 = \frac{19}{4} \times 4 = 19$$
답
$$19$$
확인해보기
풀이의 3단계에서 **"만약 $f(-3) \neq 0$이라면 극한값이 존재하지 않는 $t$의 값이 무수히 많아진다"**고 설명했습니다. 왜 그런 결과가 나오는지 식의 모양을 보고 스스로의 언어로 설명해 보세요.