어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수의 값과 각의 범위를 이용해서, 새로운 삼각함수 식의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 삼각함수의 기본 관계식: 모든 각 $\theta$에 대해 항상 성립하는 공식인 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$을 이용합니다.
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면에 있는지에 따라 $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$의 부호(양수인지 음수인지)가 결정됩니다.
단계별 풀이
1단계: $\sin^2 \theta$의 값 구하기
우리가 구해야 하는 식은 $\sin^2 \theta + \cos \theta$입니다. 먼저 앞부분인 $\sin^2 \theta$를 구해봅시다.
삼각함수의 가장 기본적이고 중요한 공식인 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$을 변형하면 다음과 같습니다.
$$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$$
문제에서 $\cos^2 \theta = \frac{4}{9}$라고 알려주었으니, 이 값을 대입해 봅시다.
$$\sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$
이렇게 해서 첫 번째 조각인 $\sin^2 \theta = \frac{5}{9}$를 찾았습니다!
2단계: $\theta$의 범위를 보고 $\cos \theta$의 부호와 값 결정하기
이제 뒷부분인 $\cos \theta$의 값을 구해야 합니다.
문제에서 $\cos^2 \theta = \frac{4}{9}$라고 했으므로, 제곱근을 구하면 $\cos \theta$는 두 가지 가능성이 있습니다.
$$\cos \theta = \frac{2}{3} \quad \text{또는} \quad \cos \theta = -\frac{2}{3}$$
둘 중 어떤 것이 진짜 값일까요? 이때 문제에 주어진 **$\theta$의 범위**를 봐야 합니다.
$$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$$
이 범위는 제2사분면을 의미합니다.
사분면별 삼각함수의 부호를 기억하나요?
- 제1사분면: 모두 양수 (All)
- 제2사분면: $\sin$만 양수 (S)
- 제3사분면: $\tan$만 양수 (T)
- 제4사분면: $\cos$만 양수 (C)
제2사분면에서는 $\sin$만 양수이고, **$\cos$은 음수($-$)**여야 합니다. 따라서 다음과 같이 결정됩니다.
$$\cos \theta = -\frac{2}{3}$$
3단계: 최종 식 계산하기
이제 우리가 구한 두 조각을 합쳐서 답을 구해봅시다. 구하고자 하는 식은 $\sin^2 \theta + \cos \theta$입니다.
$$\sin^2 \theta + \cos \theta = \frac{5}{9} + \left(-\frac{2}{3}\right)$$
분모를 $9$로 통분하여 계산해 볼까요?
$$\frac{5}{9} - \frac{6}{9} = -\frac{1}{9}$$
따라서 우리가 찾는 값은 $-\frac{1}{9}$입니다.
답
**④ $-\frac{1}{9}$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 각 $\theta$의 범위가 제3사분면($\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$)이고, $\sin^2 \theta = \frac{9}{25}$라면, 이때 $\cos \theta$의 부호는 양수일까요, 음수일까요? 그리고 그 값은 얼마가 될까요?