어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 그래프를 보고 특정 지점에서의 좌극한과 우극한을 구하여 그 합을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **좌극한 ($\lim_{x \to a-} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 작은 쪽(왼쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함수값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- **우극한 ($\lim_{x \to a+} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 큰 쪽(오른쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함수값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- 극한값과 함수값의 차이: 극한값은 그 지점에 '도달하는가'가 아니라 '어디를 향해 가까이 가는가'를 묻는 것입니다. 따라서 그래프에 뚫려 있는 빈 동그라미($\circ$)가 있더라도 그 방향으로 가고 있다면 그 값이 바로 극한값입니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 극한값 $\lim_{x \to 0-} f(x)$ 구하기
이 식은 **"$x$가 $0$의 왼쪽(음수 영역)에서 $0$을 향해 가까워질 때, $y$값은 어디로 가는가?"**를 묻고 있습니다.
- 그래프에서 $x < 0$인 영역(y축의 왼쪽)을 봅시다.
- $x$의 값을 왼쪽에서부터 $0$에 가깝게 이동시키면서 그래프의 선을 따라가 봅니다.
- 그래프는 점 $(0, -2)$를 향해 아래로 내려가고 있습니다. 비록 $(0, -2)$가 빈 동그라미($\circ$)로 비어 있지만, 그래프가 향하는 목표 지점은 $-2$입니다.
- 따라서 좌극한값은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 0-} f(x) = -2$$
2단계: 두 번째 극한값 $\lim_{x \to 1+} f(x)$ 구하기
이 식은 **"$x$가 $1$의 오른쪽에서 $1$을 향해 가까워질 때, $y$값은 어디로 가는가?"**를 묻고 있습니다.
- 그래프에서 $x > 1$인 영역(즉, $x$가 $1$보다 큰 오른쪽 영역)을 봅시다.
- $x$의 값을 오른쪽에서부터 $1$에 가깝게 이동시키면서 그래프의 선을 따라가 봅니다.
- 이 영역의 그래프는 $(1, 1)$에 채워진 동그라미($\bullet$)에서 시작하여 오른쪽 아래로 내려가는 직선입니다.
- $x$가 오른쪽에서 $1$에 한없이 가까워지면, $y$값은 이 선을 타고 올라가 결국 $1$에 도달하게 됩니다.
- 따라서 우극한값은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 1+} f(x) = 1$$
3단계: 두 극한값 더하기
이제 구한 두 값을 더해줍니다.
$$\lim_{x \to 0-} f(x) + \lim_{x \to 1+} f(x) = -2 + 1 = -1$$
답
**② $-1$**
확인해보기
위 그래프를 보고, $x$가 $0$의 오른쪽에서 가까워질 때의 극한값인 **$\lim_{x \to 0+} f(x)$**의 값과 $x=0$에서의 함수값인 **$f(0)$**은 각각 얼마일지 생각해보세요. (두 값이 서로 같을까요, 다를까요?)