어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이해하고, 주어진 조건을 이용해서 원하는 항들의 합을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 $n$번째 항은 $a_n = a \cdot r^{n-1}$입니다.
- 공비의 조건: "모든 항이 양수"라는 조건이 있으므로, 첫째항이 양수($a_1 = \frac{1}{4} > 0$)일 때 공비 $r$ 역시 반드시 **양수($r > 0$)**여야 합니다.
- 항 사이의 관계: 등비수열에서 이웃한 항들 사이의 일정한 비율 관계를 이용하면 계산을 훨씬 빠르고 우아하게 할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 공비 $r$을 사용한 식으로 나타내기
첫째항 $a_1 = \frac{1}{4}$이고 공비를 $r$이라고 합시다. 등비수열의 정의에 따라 두 번째 항과 세 번째 항을 $r$을 사용해 나타낼 수 있습니다.
$$a_2 = a_1 \cdot r = \frac{1}{4}r$$
$$a_3 = a_1 \cdot r^2 = \frac{1}{4}r^2$$
문제에서 $a_2 + a_3 = \frac{3}{2}$라고 했으므로, 위 식들을 대입해 봅니다.
$$\frac{1}{4}r + \frac{1}{4}r^2 = \frac{3}{2}$$
2단계: 이차방정식을 풀어 공비 $r$ 구하기
위에서 구한 식의 양변에 $4$를 곱해서 분수를 없애고 정리해 봅시다.
$$r^2 + r = 6$$
우변의 $6$을 좌변으로 이항하면 익숙한 이차방정식이 됩니다.
$$r^2 + r - 6 = 0$$
이 식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(r + 3)(r - 2) = 0$$
따라서 $r = -3$ 또는 $r = 2$가 됩니다.
여기서 문제의 아주 중요한 조건인 "모든 항이 양수"라는 조건을 떠올려야 합니다. 공비가 음수($r = -3$)라면 항의 부호가 양수와 음수로 번갈아 나타나게 되므로 조건에 어긋납니다.
따라서 공비는 양수여야 하므로 **$r = 2$**입니다.
3단계: 구하고자 하는 $a_6 + a_7$ 계산하기
이 단계는 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 두 방법 모두 익혀두면 좋습니다!
방법 A: 직접 대입해서 구하기
첫째항 $a_1 = \frac{1}{4}$과 공비 $r = 2$를 알았으니, $a_6$과 $a_7$을 직접 구합니다.
$$a_6 = a_1 \cdot r^5 = \frac{1}{4} \cdot 2^5 = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8$$
$$a_7 = a_1 \cdot r^6 = \frac{1}{4} \cdot 2^6 = \frac{1}{4} \cdot 64 = 16$$
따라서,
$$a_6 + a_7 = 8 + 16 = 24$$
방법 B: 수열의 규칙성(묶기)을 이용해 멋지게 구하기
$a_6$과 $a_7$은 각각 $a_2$와 $a_3$에 공비 $r$을 4번 곱한 것과 같습니다. 즉, $a_6 = a_2 \cdot r^4$이고 $a_7 = a_3 \cdot r^4$입니다.
이를 묶어보면 다음과 같습니다.
$$a_6 + a_7 = r^4(a_2 + a_3)$$
우리는 이미 $a_2 + a_3 = \frac{3}{2}$라는 것을 알고 있고, $r = 2$이므로 $r^4 = 16$입니다.
$$a_6 + a_7 = 16 \cdot \frac{3}{2} = 24$$
두 방법 모두 결과는 같습니다. 계산이 훨씬 간단한 방법 B의 원리도 꼭 기억해 두세요!
답
**③ $24$**
확인해보기
공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 + a_4 = 5$일 때, $a_7 + a_8$의 값은 $a_3 + a_4$의 값에 공비 $r$의 몇 제곱을 곱해서 구할 수 있을까요? (위의 '방법 B'를 참고하여 스스로 생각해보세요.)