어떤 문제인가
이 문제는 주어진 구간에 따라 다르게 정의된 함수 $f(x)$에 절댓값을 씌운 함수 $|f(x)|$가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 미지수 $a, b$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 함수의 연속성: 함수가 어떤 점 $x=c$에서 연속이려면, 좌극한, 우극한, 그리고 함숫값이 모두 같아야 합니다. 즉, $\lim_{x \to c^-} g(x) = \lim_{x \to c^+} g(x) = g(c)$를 만족해야 합니다.
- 절댓값 함수의 연속: 함수 $|f(x)|$가 연속이려면, 경계점에서의 좌극한과 우극한의 '절댓값'이 서로 같아야 합니다.
- 조건의 활용: 문제에서 제시한 $a, b$가 양수라는 조건을 끝까지 기억하고 적용해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 연속성을 확인해야 하는 '경계점' 찾기
함수 $f(x)$를 구성하는 세 가지 식 $x+a$, $x$, $bx-2$는 모두 일차함수이므로 각각의 구간 안에서는 끊어짐 없이 연속입니다. 따라서 전체 함수 $|f(x)|$가 실수 전체에서 연속이 되려면, 식이 바뀌는 경계점인 **$x = -1$과 $x = 3$에서만 연속이면 됩니다.**
2단계: $x = -1$에서 $|f(x)|$가 연속일 조건 구하기
$x = -1$을 기준으로 좌극한과 우극한(및 함숫값)의 절댓값이 같아야 합니다.
- **$x \to -1$일 때의 좌극한**: $x < -1$이므로 $f(x) = x+a$를 사용합니다.
$$\lim_{x \to -1^-} |f(x)| = |-1 + a|$$
- **$x \to -1$일 때의 우극한 및 함숫값**: $x \ge -1$이므로 $f(x) = x$를 사용합니다.
$$\lim_{x \to -1^+} |f(x)| = |f(-1)| = |-1| = 1$$
두 값이 같아야 하므로 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$|-1 + a| = 1$$
절댓값을 풀면 두 가지 경우가 나옵니다.
- $-1 + a = 1 \implies a = 2$
- $-1 + a = -1 \implies a = 0$
문제에서 $a$는 양수라고 했으므로, **$a = 2$**가 됩니다.
3단계: $x = 3$에서 $|f(x)|$가 연속일 조건 구하기
마찬가지로 $x = 3$을 기준으로 좌극한과 우극한(및 함숫값)의 절댓값이 같아야 합니다.
- **$x \to 3$일 때의 좌극한**: $x < 3$이므로 $f(x) = x$를 사용합니다.
$$\lim_{x \to 3^-} |f(x)| = |3| = 3$$
- **$x \to 3$일 때의 우극한 및 함숫값**: $x \ge 3$이므로 $f(x) = bx-2$를 사용합니다.
$$\lim_{x \to 3^+} |f(x)| = |f(3)| = |3b - 2|$$
두 값이 같아야 하므로 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$|3b - 2| = 3$$
절댓값을 풀면 두 가지 경우가 나옵니다.
- $3b - 2 = 3 \implies 3b = 5 \implies b = \frac{5}{3}$
- $3b - 2 = -3 \implies 3b = -1 \implies b = -\frac{1}{3}$
문제에서 $b$ 역시 양수라고 했으므로, **$b = \frac{5}{3}$**이 됩니다.
4단계: $a+b$ 계산하기
구한 $a$와 $b$의 값을 더합니다.
$$a + b = 2 + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} + \frac{5}{3} = \frac{11}{3}$$
답
**⑤ $\frac{11}{3}$**
확인해보기
만약 문제에서 $a, b$가 '양수'가 아니라 '음수'라는 조건이 주어졌다면, $a+b$의 값은 무엇이 되었을까요? 오늘 배운 풀이 과정을 적용해 스스로 구해보세요!