어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위 안에서 삼각함수의 그래프가 언제 가장 큰 값(최댓값)과 가장 작은 값(최솟값)을 갖는지 찾고, 그 두 점을 연결한 직선의 기울기를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **삼각함수($\sin$)의 그래프와 최대·최소**: 사인함수의 기본 성질과 그래프의 모양을 이해합니다.
- 치환을 통한 범위 제한: $2x$처럼 각도 부분이 변형되었을 때, 범위를 안전하게 바꾸어 생각하는 방법입니다.
- 직선의 기울기: 두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기 공식($\frac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$)을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 각도를 치환하여 생각하기
우리가 잘 아는 사인함수는 $\sin x$ 형태입니다. 하지만 문제의 함수는 $f(x) = -\sin 2x$로, 각도 자리에 $2x$가 들어가 있습니다. 이를 쉽게 다루기 위해 $2x$를 새로운 문자 $t$로 치환해 봅시다.
$$t = 2x$$
이때, 원래 $x$의 범위가 $0 \le x \le \pi$이므로, 양변에 $2$를 곱한 $t$의 범위는 다음과 같이 바뀝니다.
$$0 \le 2x \le 2\pi \implies 0 \le t \le 2\pi$$
이제 우리는 $0 \le t \le 2\pi$ 범위에서 함수 $g(t) = -\sin t$의 최대·최소를 생각하면 됩니다.
2단계: 최댓값과 최솟값을 갖는 순간 구하기
사인함수 $\sin t$는 항상 $-1$에서 $1$ 사이의 값을 가집니다. 즉, $-1 \le \sin t \le 1$입니다.
여기에 마이너스($-$) 부호가 붙은 $g(t) = -\sin t$ 역시 최댓값은 $1$, 최솟값은 $-1$이 됩니다.
- **최댓값을 가질 때 ($x=a$):**
$-\sin t$가 최댓값 $1$을 가지려면, $\sin t = -1$이어야 합니다.
$0 \le t \le 2\pi$ 범위에서 $\sin t = -1$이 되는 $t$의 값은 $t = \frac{3\pi}{2}$입니다.
원래 문자 $x$로 돌려놓으면,
$$2x = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{3\pi}{4}$$
따라서 최댓값을 갖는 점의 $x$ 좌표는 $a = \frac{3\pi}{4}$이고, 이때의 최댓값은 $f(a) = 1$입니다.
즉, 최댓값 점의 좌표는 **$\left(\frac{3\pi}{4}, 1\right)$**입니다.
- **최솟값을 가질 때 ($x=b$):**
$-\sin t$가 최솟값 $-1$을 가지려면, $\sin t = 1$이어야 합니다.
$0 \le t \le 2\pi$ 범위에서 $\sin t = 1$이 되는 $t$의 값은 $t = \frac{\pi}{2}$입니다.
원래 문자 $x$로 돌려놓으면,
$$2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$$
따라서 최솟값을 갖는 점의 $x$ 좌표는 $b = \frac{\pi}{4}$이고, 이때의 최솟값은 $f(b) = -1$입니다.
즉, 최솟값 점의 좌표는 **$\left(\frac{\pi}{4}, -1\right)$**입니다.
3단계: 두 점을 지나는 직선의 기울기 구하기
이제 두 점 $\left(\frac{3\pi}{4}, 1\right)$과 $\left(\frac{\pi}{4}, -1\right)$을 지나는 직선의 기울기를 구해봅시다.
기울기 공식은 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$입니다.
$$\text{기울기} = \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{1 - (-1)}{\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}}$$
분자와 분모를 각각 계산해 봅시다.
- 분자: $1 - (-1) = 2$
- 분모: $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
따라서 기울기는 다음과 같습니다.
$$\text{기울기} = \frac{2}{\frac{\pi}{2}} = 2 \times \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$$
답
**④ $\frac{4}{\pi}$**
확인해보기
만약 함수가 $g(x) = \cos 2x$ 이고 범위가 똑같이 $[0, \pi]$ 일 때, 이 함수의 최댓값을 갖는 점과 최솟값을 갖는 점을 지나는 직선의 기울기는 어떻게 될지 스스로 구해보세요! (힌트: 코사인 그래프의 개형과 주기를 먼저 생각해보세요.)