어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건들을 만족하는 미분가능한 함수 $f(x)$에 대해, 특정 함숫값 $f(5)$가 가질 수 있는 가장 작은 값(최솟값)을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 미분가능성과 연속성: 함수가 미분가능하면 그 구간에서 끊어지지 않고 부드럽게 이어져 있습니다(연속).
- 평균값 정리 (Mean Value Theorem): 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능할 때, 두 점을 잇는 직선의 기울기(평균변화율)와 같아지는 접선의 기울기(순간변화율)가 구간 내에 적어도 하나 존재한다는 정리입니다.
이 문제처럼 **함숫값의 차이($f(5) - f(1)$)와 미분계수의 조건($f'(x) \ge 5$)**이 동시에 주어졌을 때는 '평균값 정리'를 떠올리는 것이 가장 좋은 출발점입니다.
단계별 풀이
1. 평균값 정리를 적용할 수 있는지 확인하기
평균값 정리를 쓰려면 함수가 해당 구간에서 연속이고 미분가능해야 합니다.
문제에서 함수 $f(x)$는 '실수 전체의 집합에서 미분가능'하다고 했습니다. 따라서 당연히 닫힌구간 $[1, 5]$에서 연속이고, 열린구간 $(1, 5)$에서 미분가능합니다.
조건이 만족되었으니, 구간 $[1, 5]$에서 평균값 정리를 적용해 봅시다.
2. 평균값 정리 식 세우기
평균값 정리에 의해, 다음 식을 만족하는 실수 $c$가 열린구간 $(1, 5)$에 적어도 하나 존재합니다.
$$\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c) \quad (1 < c < 5)$$
이 식의 좌변은 $x=1$부터 $x=5$까지의 평균변화율이고, 우변은 $x=c$에서의 순간변화율(접선의 기울기)을 뜻합니다.
3. 조건 대입하고 부등식 풀기
이제 우리가 알고 있는 정보들을 식에 대입해 봅시다.
- 조건 (가)에서 $f(1) = 3$입니다.
- 조건 (나)에서 $1 < x < 5$인 모든 $x$에 대해 $f'(x) \ge 5$라고 했습니다. 우리가 찾은 $c$ 역시 $1 < c < 5$ 범위에 있으므로, 당연히 $f'(c) \ge 5$가 성립합니다.
이 정보들을 평균값 정리 식에 적용해 볼까요?
$$\frac{f(5) - 3}{4} = f'(c) \ge 5$$
즉, 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{f(5) - 3}{4} \ge 5$$
양변에 $4$를 곱하면:
$$f(5) - 3 \ge 20$$
양변에 $3$을 더하면:
$$f(5) \ge 23$$
따라서 $f(5)$는 아무리 작아도 $23$보다는 크거나 같아야 합니다. 즉, $f(5)$의 최솟값은 $23$이 됩니다.
답
③ $23$
확인해보기
오늘 배운 평균값 정리를 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
[질문]
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g(x)$가 있습니다. $g(2) = 5$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $g'(x) \le 3$일 때, 평균값 정리를 이용하여 $g(6)$이 가질 수 있는 최댓값을 구해보세요. (답은 스스로 구해보며 풀이 과정을 적어보세요!)