어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위 $x \ge 0$에서 두 함수의 대소 관계($f(x) \ge g(x)$)가 항상 성립하도록 하는 미지수 $a$의 범위를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 부등식의 변형: 복잡한 두 함수의 비교를 하나의 함수와 상수의 비교($h(x) \ge a$)로 바꾸어 생각합니다.
- 도함수를 이용한 최솟값 찾기: 미분을 통해 새로운 함수의 그래프 개형을 그리고, 주어진 범위에서의 최솟값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 식을 정리하여 하나의 함수로 만들기
우리가 증명해야 하는 식은 $x \ge 0$일 때 다음과 같습니다.
$$f(x) \ge g(x)$$
여기에 주어진 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 대입해 봅시다.
$$x^3 - x + 6 \ge x^2 + a$$
우변에 있는 $x^2$을 좌변으로 이항하여 미지수 $a$만 우변에 남겨볼게요. 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$x^3 - x^2 - x + 6 \ge a$$
이제 좌변에 있는 식을 새로운 함수 $h(x)$로 정의해 봅시다.
$$h(x) = x^3 - x^2 - x + 6$$
그렇다면 문제는 **"$x \ge 0$인 모든 $x$에 대하여 $h(x) \ge a$가 성립할 조건"**을 구하는 것으로 바뀝니다. 즉, $x \ge 0$에서 **$h(x)$의 최솟값**이 $a$보다 크거나 같으면 됩니다!
2단계: 함수 $h(x)$ 미분하기
$h(x)$의 최솟값을 찾기 위해, 먼저 함수가 어디서 증가하고 감소하는지 알아봅시다. 이를 위해 $h(x)$를 미분하여 도함수 $h'(x)$를 구합니다.
$$h'(x) = 3x^2 - 2x - 1$$
도함수가 $0$이 되는 지점(극값의 후보)을 찾기 위해 인수분해를 해볼까요?
$$3x^2 - 2x - 1 = 0$$
$$(3x + 1)(x - 1) = 0$$
따라서 $h'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 다음과 같습니다.
$$x = -\frac{1}{3} \quad \text{또는} \quad x = 1$$
3단계: $x \ge 0$ 범위에서 $h(x)$의 최솟값 구하기
우리가 관심 있는 범위는 $x \ge 0$입니다. 이 범위에서 $h'(x)$의 부호를 조사하여 $h(x)$의 증감을 파악해 봅시다.
- $0 \le x < 1$ 일 때: $h'(x) < 0$ 이므로 함수 $h(x)$는 감소합니다.
- $x > 1$ 일 때: $h'(x) > 0$ 이므로 함수 $h(x)$는 증가합니다.
즉, 함수 $h(x)$는 $x = 1$에서 극소이면서 동시에 최소가 됩니다.
이제 $x = 1$일 때의 함숫값(최솟값)을 구해봅시다.
$$h(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 6 = 5$$
4단계: $a$의 최댓값 결정하기
$x \ge 0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $h(x)$의 최솟값이 $5$이므로, 항상 다음이 성립합니다.
$$h(x) \ge 5$$
문제에서 요구한 $h(x) \ge a$가 항상 성립하려면, $a$는 $h(x)$의 최솟값인 $5$보다 작거나 같아야 합니다.
$$a \le 5$$
따라서 실수 $a$의 최댓값은 $5$입니다.
답
**⑤ $5$**
확인해보기
만약 문제에서 주어진 범위가 $x \ge 0$이 아니라 **$x \ge 2$**로 바뀐다면, 실수 $a$의 최댓값은 어떻게 변할까요? 오늘 배운 단계별 풀이를 적용해 스스로 구해보세요!