어떤 문제인가
이 문제는 두 벡터가 서로 평행할 조건을 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 평행 조건: 영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{u}, \vec{v}$가 서로 평행하면, 한 벡터는 다른 벡터의 실수배로 나타낼 수 있습니다. 즉, $\vec{u} = m\vec{v}$ (단, $m$은 $0$이 아닌 실수)가 성립합니다.
- 벡터의 상등 (서로 같을 조건): 서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a}, \vec{b}$에 대하여 $x\vec{a} + y\vec{b} = x'\vec{a} + y'\vec{b}$ 이면, $x = x'$ 이고 $y = y'$ 입니다.
단계별 풀이
1단계: 두 벡터가 평행하다는 조건을 식으로 나타내기
두 벡터 $\vec{a}+2\vec{b}$와 $3\vec{a}+k\vec{b}$가 서로 평행하므로, 한 벡터에 적당한 실수 $m$을 곱하면 다른 벡터와 같아져야 합니다.
이를 식(방정식)으로 세우면 다음과 같습니다:
$$3\vec{a}+k\vec{b} = m(\vec{a}+2\vec{b}) \quad (\text{단, } m \text{은 } 0\text{이 아닌 실수})$$
2단계: 식을 전개하고 양변의 벡터 계수 비교하기
우변의 괄호를 풀어서 정리해 봅시다.
$$3\vec{a}+k\vec{b} = m\vec{a}+2m\vec{b}$$
문제에서 두 벡터 $\vec{a}$와 $\vec{b}$는 서로 평행하지 않고 영벡터가 아니라고 했습니다. 따라서 양변의 $\vec{a}$ 앞의 계수끼리, 그리고 $\vec{b}$ 앞의 계수끼리 서로 같아야 합니다.
- $\vec{a}$의 계수 비교:
$$3 = m$$
- $\vec{b}$의 계수 비교:
$$k = 2m$$
3단계: 미지수 $k$의 값 구하기
위에서 구한 $m = 3$을 $k = 2m$에 대입합니다.
$$k = 2 \times 3 = 6$$
따라서 구하고자 하는 실수 $k$의 값은 $6$입니다.
답
③ $6$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a}, \vec{b}$에 대하여, 두 벡터 $\vec{a} - \vec{b}$와 $2\vec{a} + t\vec{b}$가 서로 평행하도록 하는 실수 $t$의 값은 얼마일까요? 위의 풀이 과정을 참고하여 스스로 구해보세요!