어떤 문제인가
이 문제는 주어진 쌍곡선의 성질을 이용해서 두 초점 사이의 거리를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 쌍곡선의 기본형 방정식에서 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 주축의 길이: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$에서 주축의 길이는 $2a$입니다.
- 점근선의 방정식: 이 쌍곡선의 점근선의 방정식은 $y = \pm \frac{b}{a}x$입니다.
- 초점과의 관계식: 초점의 좌표를 $(c, 0), (-c, 0)$이라고 할 때, $c^2 = a^2 + b^2$이 성립합니다. (단, $c > 0$)
이 개념들을 하나씩 적용해 보면서 문제를 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: 주축의 길이를 이용해 $a$ 값 구하기
쌍곡선의 방정식이 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 꼴이고 우변이 $1$이므로, 이 쌍곡선은 좌우로 열린 모양입니다. 이때 주축은 $x$축 위에 존재하며, 그 길이는 $2a$가 됩니다.
문제에서 주축의 길이가 $6$이라고 했으므로 식을 세워볼 수 있습니다.
$$2a = 6$$
양변을 $2$로 나누면 $a$의 값을 구할 수 있습니다. ($a > 0$)
$$a = 3$$
2단계: 점근선의 방정식을 이용해 $b$ 값 구하기
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$의 점근선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y = \pm \frac{b}{a}x$$
문제에서 한 점근선의 방정식이 $y = 2x$라고 주어졌으므로, 기울기를 비교하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{b}{a} = 2$$
여기에 1단계에서 구한 $a = 3$을 대입해 봅시다.
$$\frac{b}{3} = 2$$
$$b = 6$$
3단계: 초점의 위치 $c$ 구하기
쌍곡선에서 두 초점의 좌표를 $F(c, 0)$, $F'(-c, 0)$이라고 할 때, $a, b, c$ 사이에는 다음과 같은 피타고라스 정리와 닮은 관계가 성립합니다.
$$c^2 = a^2 + b^2$$
우리가 구한 $a = 3$과 $b = 6$을 이 식에 대입해 봅시다.
$$c^2 = 3^2 + 6^2$$
$$c^2 = 9 + 36 = 45$$
$c$는 양수이므로 제곱근을 구하면 다음과 같습니다.
$$c = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$
4단계: 두 초점 사이의 거리 구하기
두 초점 $F(3\sqrt{5}, 0)$와 $F'(-3\sqrt{5}, 0)$ 사이의 거리는 $2c$입니다.
따라서 두 초점 사이의 거리는 다음과 같습니다.
$$\text{거리} = 2c = 2 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$$
답
정답은 **② $6\sqrt{5}$** 입니다.
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 쌍곡선의 방정식이 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ (우변이 $-1$)이고 $a, b$가 양수일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는 $2a$와 $2b$ 중 어느 것일까요? (힌트: 그래프가 어느 축 방향으로 그려지는지 생각해 보세요.)