어떤 문제인가
이 문제는 좌표평면 위에서 두 직선이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대해 $\cos\theta$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 직선의 방향벡터: 직선이 나아가는 방향을 나타내는 벡터입니다. 직선의 방정식 모양을 보고 방향벡터를 올바르게 이끌어내는 것이 첫 단추입니다.
- 벡터의 내적과 삼각비: 두 벡터가 이루는 각의 크기는 두 벡터의 내적 공식을 이용해 구할 수 있습니다. 특히 '예각'의 크기를 구해야 하므로 코사인 값이 양수가 되도록 처리해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 직선의 방향벡터 구하기
직선의 방정식이 $\frac{x-x_1}{u_1} = \frac{y-y_1}{u_2}$ 꼴로 주어질 때, 분모에 있는 $(u_1, u_2)$가 바로 이 직선의 방향벡터가 됩니다.
첫 번째 직선의 방정식을 볼까요?
$$\frac{x-3}{4} = \frac{y-5}{3}$$
이 식은 표준적인 형태를 잘 유지하고 있네요. 따라서 첫 번째 직선의 방향벡터를 $\vec{u}$라고 하면 다음과 같습니다.
$$\vec{u} = (4, 3)$$
2단계: 두 번째 직선의 방향벡터 구하기 (함정 조심!)
두 번째 직선의 방정식을 봅시다.
$$x-1 = \frac{2-y}{3}$$
여기서 조심해야 할 함정이 있습니다! 분자의 $y$ 앞에 마이너스($-$) 부호가 붙어 있죠? 방향벡터를 정확히 구하려면 분자의 $y$ 계수를 $1$로 만들어 주어야 합니다.
우변의 분자, 분모에 각각 $-1$을 곱해서 식을 정리해 봅시다.
$$x-1 = \frac{-(y-2)}{3} \implies \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-3}$$
이제 표준적인 형태가 되었습니다. 이 직선의 방향벡터를 $\vec{v}$라고 하면 다음과 같습니다.
$$\vec{v} = (1, -3)$$
3단계: 두 벡터의 내적과 크기 계산하기
두 직선이 이루는 예각의 크기 $\theta$에 대하여, 두 방향벡터 $\vec{u}$와 $\vec{v}$가 이루는 각의 코사인 값은 다음 공식을 통해 구할 수 있습니다. (예각이므로 분자에 절댓값을 씌웁니다.)
$$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
공식에 대입하기 위해 필요한 값들을 하나씩 계산해 봅시다.
- **두 벡터의 내적 ($\vec{u} \cdot \vec{v}$):**
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) = 4 - 9 = -5$$
- **첫 번째 벡터의 크기 ($|\vec{u}|$):**
$$|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$
- **두 번째 벡터의 크기 ($|\vec{v}|$):**
$$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$
4단계: $\cos\theta$ 값 구하기
이제 구한 값들을 공식에 대입해 봅시다.
$$\cos\theta = \frac{|-5|}{5 \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$
분모를 유리화하면 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$$
답
정답은 ②번인 $$\frac{\sqrt{10}}{10}$$ 입니다.
확인해보기
두 벡터가 이루는 각의 크기를 구할 때와 달리, 두 직선이 이루는 각의 크기를 구할 때는 왜 공식의 분자(내적 값)에 반드시 절댓값($| \cdot |$)을 씌워야 할까요? 두 직선이 만날 때 생기는 각의 특성을 생각하며 스스로 답해 보세요.