어떤 문제인가
이 문제는 타원과 직선이 만나는 상황에서, 타원 위의 점들을 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 극대화하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 연립이차방정식: 타원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 두 교점 $A, C$의 좌표를 구합니다.
- 삼각형의 넓이 분할: 사각형 $ABCD$를 대각선 $AC$를 기준으로 두 개의 삼각형($\triangle ABC$, $\triangle ADC$)으로 나누어 생각합니다.
- 타원의 접선의 방정식: 직선과 가장 멀리 떨어져 있는 타원 위의 점을 찾기 위해, 기울기가 주어진 타원의 접선 공식을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 교점 $A$와 $C$의 좌표 구하기
먼저 대각선이 되는 선분 $AC$의 양 끝점의 좌표를 알아야 합니다. 타원의 방정식과 직선의 방정식을 연립해 봅시다.
타원의 방정식:
$$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 \quad \cdots \text{ (1)}$$
직선의 방정식:
$$y = x - 1 \quad \cdots \text{ (2)}$$
(2)를 (1)에 대입합니다.
$$\frac{x^2}{3} + (x-1)^2 = 1$$
양변에 $3$을 곱하여 식을 정리합니다.
$$x^2 + 3(x^2 - 2x + 1) = 3$$
$$4x^2 - 6x = 0$$
$$2x(2x - 3) = 0$$
따라서 $x = 0$ 또는 $x = \frac{3}{2}$입니다.
- $x = 0$일 때, $y = -1 \implies C(0, -1)$
- $x = \frac{3}{2}$일 때, $y = \frac{1}{2} \implies A\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$
2단계: 대각선 $AC$의 길이 구하기
두 점 $A\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$와 $C(0, -1)$ 사이의 거리를 구합니다. 이 길이는 사각형을 두 삼각형으로 나누었을 때 공통 밑변의 길이가 됩니다.
$$AC = \sqrt{\left(\frac{3}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{1}{2} - (-1)\right)^2}$$
$$AC = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$
3단계: 사각형의 넓이를 높이의 합으로 표현하기
사각형 $ABCD$는 대각선 $AC$에 의해 두 삼각형 $\triangle ABC$와 $\triangle ADC$로 나뉩니다.
점 $B$에서 직선 $AC$에 내린 수선의 발의 길이를 $h_1$, 점 $D$에서 직선 $AC$에 내린 수선의 발의 길이를 $h_2$라고 합시다.
$$\text{사각형 } ABCD \text{의 넓이} = \triangle ABC + \triangle ADC$$
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times AC \times h_1 + \frac{1}{2} \times AC \times h_2 = \frac{1}{2} \times AC \times (h_1 + h_2)$$
$AC$의 길이는 고정되어 있으므로, 사각형의 넓이가 최대가 되려면 두 높이의 합 $(h_1 + h_2)$이 최대가 되어야 합니다.
4단계: 높이가 최대가 되는 조건 찾기 (접선 활용)
타원 위의 점 $B, D$에서 직선 $y = x - 1$까지의 거리가 최대가 되는 순간은, 직선 $y = x - 1$과 평행하면서 타원에 접하는 두 접선 위에 $B$와 $D$가 있을 때입니다.
기울기가 $m=1$인 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$의 접선의 방정식 공식은 다음과 같습니다.
$$y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$$
이 문제에서 $a^2 = 3$, $b^2 = 1$, $m = 1$이므로 대입해 봅시다.
$$y = 1 \cdot x \pm \sqrt{3 \cdot 1^2 + 1}$$
$$y = x \pm 2$$
즉, 평행한 두 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
- $l_1: x - y + 2 = 0$
- $l_2: x - y - 2 = 0$
기준이 되는 직선 $AC$의 방정식은 $x - y - 1 = 0$입니다. 이 직선은 두 접선 사이에 위치합니다.
따라서 최대 높이 $h_1$과 $h_2$는 직선 $AC$에서 각각의 접선까지의 거리와 같습니다.
평행한 두 직선 $Ax + By + C_1 = 0$과 $Ax + By + C_2 = 0$ 사이의 거리 공식 $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$를 이용합니다.
- $h_1$ (직선 $x-y-1=0$과 $x-y+2=0$ 사이의 거리):
$$h_1 = \frac{|2 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$
- $h_2$ (직선 $x-y-1=0$과 $x-y-2=0$ 사이의 거리):
$$h_2 = \frac{|-2 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
따라서 높이의 합의 최댓값은 다음과 같습니다.
$$h_1 + h_2 = \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$
5단계: 사각형의 최대 넓이 계산하기
이제 구한 값들을 넓이 공식에 대입합니다.
$$\text{최대 넓이} = \frac{1}{2} \times AC \times (h_1 + h_2)$$
$$\text{최대 넓이} = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} \times 2\sqrt{2}$$
$$\text{최대 넓이} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 4 = 3$$
답
⑤ $3$
확인해보기
만약 기준이 되는 직선이 $y = x - 1$이 아니라, 원점을 지나는 직선 $y = x$였다고 가정해 봅시다. 이때 타원 위의 두 점 $B, D$에 대해 사각형 $ABCD$의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 접선의 방정식은 무엇이 될까요? (기울기가 같은 접선을 이용해 스스로 생각해보세요!)