어떤 문제인가
이 문제는 기하학적 도형(사다리꼴) 안에서 정의된 두 벡터의 내적을 구하는 문제입니다. 도형의 길이와 각도 조건이 주어졌을 때, 복잡한 기하학적 성질을 이용하기보다는 도형을 좌표평면 위에 올려놓고 성분으로 해결하는 방법을 사용하면 아주 쉽고 정확하게 풀 수 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각비를 이용한 길이 구하기: 특수각($45^\circ$)을 이용하여 사다리꼴의 높이와 밑변의 길이를 구합니다.
- 좌표평면 도입: 도형의 한 점을 원점으로 잡고, 각 꼭짓점의 좌표를 구합니다.
- 직선의 방정식과 교점: 두 직선의 방정식을 연립하여 교점 $E$와 $F$의 좌표를 구합니다.
- 벡터의 성분과 내적: 두 벡터를 성분으로 나타낸 뒤, 내적 공식 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$를 이용해 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 도형의 길이 분석하고 좌표평면 위에 나타내기
먼저 사다리꼴 $ABCD$의 구체적인 크기를 알아봅시다.
점 $A$에서 선분 $BC$에 내린 수선의 발이 $H$이므로, 직각삼각형 $ABH$를 생각할 수 있습니다.
- $\angle\text{ABC} = 45^\circ$이고 $\angle\text{AHB} = 90^\circ$이므로, $\triangle\text{ABH}$는 직각이등변삼각형입니다.
- 빗변의 길이 $\overline{\text{AB}} = \sqrt{2}$이므로, 삼각비를 이용하면 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{BH}} = \overline{\text{AB}} \cos 45^\circ = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$$
$$\overline{\text{AH}} = \overline{\text{AB}} \sin 45^\circ = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$$
사다리꼴 $ABCD$는 등변사다리꼴이므로, 점 $D$에서 $BC$에 내린 수선의 발을 $G$라고 하면 $\overline{\text{GC}} = \overline{\text{BH}} = 1$이 됩니다. 또한 $\overline{\text{HG}} = \overline{\text{AD}} = 2$입니다.
따라서 밑변 $BC$의 전체 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{BC}} = \overline{\text{BH}} + \overline{\text{HG}} + \overline{\text{GC}} = 1 + 2 + 1 = 4$$
이제 계산을 편리하게 하기 위해 **점 $H$를 원점 $(0,0)$**으로 하는 좌표평면을 도입해 봅시다.
- $H = (0, 0)$
- $A = (0, 1)$ (높이가 $1$이므로)
- $B = (-1, 0)$ ($\overline{\text{BH}} = 1$이고 $H$의 왼쪽에 있으므로)
- $C = (3, 0)$ ($\overline{\text{BC}} = 4$이므로 $B$에서 오른쪽으로 $4$만큼 이동)
- $D = (2, 1)$ ($\overline{\text{AD}} = 2$이고 $A$에서 오른쪽으로 $2$만큼 이동)
2단계: 점 $F$와 점 $E$의 좌표 구하기
이제 벡터를 구하기 위해 필요한 점 $F$와 $E$의 좌표를 구해보겠습니다.
**1) 점 $F$의 좌표 구하기**
점 $F$는 선분 $AH$와 선분 $BD$의 교점입니다.
- 선분 $AH$는 $y$축 위에 있으므로 직선의 방정식은 $x = 0$입니다.
- 직선 $BD$는 두 점 $B(-1, 0)$와 $D(2, 1)$을 지납니다.
* 기울기: $m = \frac{1 - 0}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$
* 직선의 방정식: $y - 0 = \frac{1}{3}(x + 1) \implies y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$
- $x = 0$을 대입하면 $y = \frac{1}{3}$이 되므로, 점 $F$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$F = \left(0, \frac{1}{3}\right)$$
**2) 점 $E$의 좌표 구하기**
점 $E$는 두 대각선 $AC$와 $BD$의 교점입니다.
- 직선 $AC$는 두 점 $A(0, 1)$과 $C(3, 0)$을 지납니다.
* 기울기: $m = \frac{0 - 1}{3 - 0} = -\frac{1}{3}$
* 직선의 방정식: $y = -\frac{1}{3}x + 1$
- 직선 $BD$의 방정식은 위에서 구한 $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$입니다.
- 두 식을 연립하여 교점 $E$를 구합니다.
$$\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}x + 1$$
$$\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \implies x = 1$$
$x = 1$을 대입하면 $y = \frac{2}{3}$가 되므로, 점 $E$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$E = \left(1, \frac{2}{3}\right)$$
3단계: 벡터 $\overrightarrow{\text{AF}}$와 $\overrightarrow{\text{CE}}$ 구하기
구한 점들의 좌표를 이용하여 두 벡터를 성분으로 나타내 봅시다.
- $\overrightarrow{\text{AF}} = F - A = \left(0, \frac{1}{3}\right) - (0, 1) = \left(0, -\frac{2}{3}\right)$
- $\overrightarrow{\text{CE}} = E - C = \left(1, \frac{2}{3}\right) - (3, 0) = \left(-2, \frac{2}{3}\right)$
4단계: 두 벡터의 내적 계산하기
이제 두 벡터의 성분을 이용하여 내적을 계산합니다.
$$\overrightarrow{\text{AF}} \cdot \overrightarrow{\text{CE}} = (0) \times (-2) + \left(-\frac{2}{3}\right) \times \left(\frac{2}{3}\right)$$
$$\overrightarrow{\text{AF}} \cdot \overrightarrow{\text{CE}} = 0 - \frac{4}{9} = -\frac{4}{9}$$
답
정답은 **④ $-\frac{4}{9}$** 입니다.
확인해보기
좌표평면을 설정할 때 꼭 점 $H$를 원점으로 잡아야만 할까요? 만약 점 $B$를 원점 $(0,0)$으로 잡고 모든 점의 좌표를 다시 구해서 벡터의 내적을 계산한다면, 최종 답은 어떻게 변할지 생각해보세요. (힌트: 벡터의 크기와 방향은 좌표축의 위치에 영향을 받을까요?)