어떤 문제인가
이 문제는 두 고정된 점 $\text{A}(c, 0)$와 $\text{B}(-c, 0)$로부터의 거리의 차인 $\overline{\text{PB}} - \overline{\text{PA}}$가 최대가 되는 상황을 분석하는 기하 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 쌍곡선의 정의: 두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합입니다. 즉, $|\overline{\text{PB}} - \overline{\text{PA}}| = 2a$를 만족하는 점 $\text{P}$는 쌍곡선 위에 있습니다.
- 접선의 성질: 직선 위를 움직이는 점 $\text{P}$에 대해 거리의 차가 최대가 되는 순간은, 그 직선이 쌍곡선과 접할 때입니다.
- 쌍곡선의 접선의 방정식: 쌍곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구하는 공식을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 기하학적 상황 이해하기 (왜 접할 때 최대가 될까?)
두 점 $\text{A}(c, 0)$와 $\text{B}(-c, 0)$를 초점으로 하는 쌍곡선을 생각해 봅시다.
주어진 식 $\overline{\text{PB}} - \overline{\text{PA}} = 2a$ ($a > 0$)를 만족하는 점 $\text{P}$는 초점 $\text{A}$에 더 가까운 쌍곡선의 오른쪽 가지 위에 존재합니다.
이때 $2a$의 값이 커질수록 쌍곡선은 초점 쪽으로 더 오므라들게 됩니다.
직선 $y = 2x - 3$ 위를 움직이는 점 $\text{P}$에 대해 $\overline{\text{PB}} - \overline{\text{PA}}$의 값이 최대가 된다는 것은, 이 직선과 만날 수 있는 쌍곡선 중에서 **가장 $2a$ 값이 큰 쌍곡선**을 찾는 것과 같습니다.
따라서, 직선 $y = 2x - 3$이 쌍곡선과 접하는 순간에 거리의 차가 최대가 되며, 그 접점이 바로 문제에서 주어진 $\text{P}(3, 3)$이 됩니다.
2단계: 쌍곡선의 방정식 세우기
초점이 $x$축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식은 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{단, } c^2 = a^2 + b^2)$$
3단계: 접점 $\text{P}(3, 3)$에서의 접선의 방정식 구하기
쌍곡선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 공식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1$$
이 공식에 접점 $\text{P}(3, 3)$을 대입하면 접선의 방정식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{3x}{a^2} - \frac{3y}{b^2} = 1 \quad \cdots \text{ (ㄱ)}$$
4단계: 주어진 직선의 방정식과 비교하여 $a^2, b^2$ 구하기
문제에서 주어진 직선의 방정식은 $y = 2x - 3$입니다. 이를 (ㄱ)의 형태(우변이 $1$인 형태)로 변형해 봅시다.
$$2x - y = 3$$
양변을 $3$으로 나누면,
$$\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}y = 1 \quad \cdots \text{ (ㄴ)}$$
이제 (ㄱ)과 (ㄴ)은 같은 직선을 나타내므로, 각 항의 계수를 비교합니다.
- $x$의 계수 비교:
$$\frac{3}{a^2} = \frac{2}{3} \implies a^2 = \frac{9}{2}$$
- $y$의 계수 비교:
$$\frac{3}{b^2} = \frac{1}{3} \implies b^2 = 9$$
5단계: 상수 $c$의 값 계산하기
쌍곡선에서 초점의 좌표 $c$는 $c^2 = a^2 + b^2$을 만족합니다. 위에서 구한 값을 대입해 봅시다.
$$c^2 = \frac{9}{2} + 9 = \frac{27}{2}$$
$c > 0$이므로 양의 제곱근을 구하면,
$$c = \sqrt{\frac{27}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$$
답
정답은 ① $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ 입니다.
확인해보기
만약 문제에서 거리의 차의 최대가 아니라, 거리의 합 $\overline{\text{PB}} + \overline{\text{PA}}$의 최소가 되도록 하는 점 $\text{P}$의 좌표가 주어졌다면, 우리는 쌍곡선 대신 어떤 이차곡선(원뿔곡선)의 정의와 접선의 성질을 이용해야 할까요?