안녕! 오늘 함께 풀어볼 문제는 기하 과목에서 아주 중요한 포물선의 정의를 활용하는 멋진 문제란다. 도형이 복잡해 보이지만, 포물선의 가장 기본적이고 강력한 성질을 이용하면 실타래가 풀리듯 쉽게 해결할 수 있어. 선생님과 함께 차근차근 한 단계씩 나아가 보자!
어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 포물선이 등장하고, 그 교점들과 선분들로 이루어진 사각형의 둘레가 주어졌을 때 특정 삼각형의 넓이를 구하는 문제야.
우리가 이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같단다:
- 포물선의 정의: 포물선 위의 임의의 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 항상 같다! (이 문제의 가장 강력한 열쇠야.)
- 포물선의 방정식: 꼭짓점이 $(h, k)$이고 축이 $x$축과 평행한 포물선의 표준형 이해하기.
- 삼각형의 넓이: 밑변이 $x$축과 평행할 때, 높이를 $y$좌표의 차이로 쉽게 구하기.
단계별 풀이
1단계: 원래 포물선 $y^2=8x$의 정보 정리하기
먼저 기준이 되는 포물선 $y^2=8x$를 분석해 보자.
포물선의 기본형 $y^2=4px$와 비교하면 $4p=8$이므로 $p=2$가 되지?
- **초점 $\text{F}$의 좌표**: $(2, 0)$
- 준선의 방정식: $x = -2$
제1사분면에 있는 점 $\text{P}$의 좌표를 $\text{P}(a, b)$라고 하자. (단, 문제 조건에서 $a < 2, b > 0$)
점 $\text{P}$는 포물선 위의 점이므로 다음 식이 성립해.
$$b^2 = 8a \quad \cdots \text{(식 1)}$$
또한, 점 $\text{P}$를 지나고 $x$축과 평행한 직선이 준선 $x=-2$와 만나는 점이 $\text{F}'$이므로, $\text{F}'$의 $y$좌표는 $\text{P}$와 같은 $b$가 된단다.
- **점 $\text{F}'$의 좌표**: $(-2, b)$
2단계: 포물선의 정의로 선분의 길이 표현하기
이제 포물선의 가장 중요한 성질인 "초점까지의 거리 = 준선까지의 거리"를 써먹을 시간이야!
- **점 $\text{P}$에 대하여:**
점 $\text{P}$는 포물선 $y^2=8x$ 위의 점이므로, 초점 $\text{F}$까지의 거리 $\text{PF}$는 준선 $x=-2$까지의 거리인 $\text{PF}'$과 같아.
$$\text{PF} = \text{PF}' = a - (-2) = a + 2$$
- **새로운 포물선(꼭짓점 $\text{P}$, 초점 $\text{F}'$)에 대하여:**
이 새로운 포물선은 꼭짓점이 $\text{P}(a, b)$이고 초점이 $\text{F}'(-2, b)$야. 초점이 꼭짓점의 왼쪽에 있으므로 왼쪽으로 열린 포물선이지.
꼭짓점과 초점 사이의 거리는 $a - (-2) = a + 2$ 란다.
그렇다면 이 새로운 포물선의 준선은 꼭짓점 $\text{P}$로부터 오른쪽으로 $a+2$만큼 떨어진 곳에 있는 세로선이 되겠지?
* 새로운 포물선의 준선: $x = a + (a + 2) = 2a + 2$
- **점 $\text{Q}$에 대하여:**
점 $\text{Q}(x_0, y_0)$는 두 포물선의 교점이야.
* 첫 번째 포물선 정의 적용: $\text{Q}$에서 초점 $\text{F}$까지의 거리는 준선 $x=-2$까지의 거리와 같으므로,
$$\text{QF} = x_0 - (-2) = x_0 + 2$$
* 두 번째 포물선 정의 적용: $\text{Q}$에서 초점 $\text{F}'$까지의 거리는 새로운 준선 $x=2a+2$까지의 거리와 같으므로,
$$\text{QF}' = (2a + 2) - x_0$$
3단계: 사각형 $\text{PF}'\text{QF}$의 둘레를 이용하여 $a$와 $b$ 구하기
사각형 $\text{PF}'\text{QF}$의 둘레의 길이는 네 변의 길이의 합이야. 우리가 위에서 구한 식들을 모두 더해볼까?
$$\text{둘레} = \text{PF}' + \text{F}'\text{Q} + \text{QF} + \text{FP}$$
$$\text{둘레} = (a + 2) + (2a + 2 - x_0) + (x_0 + 2) + (a + 2)$$
식에서 $-x_0$와 $+x_0$가 서로 사라지는 마법 같은 일이 일어나지! 식을 정리하면:
$$\text{둘레} = 4a + 8$$
문제에서 둘레의 길이가 $12$라고 주어졌으니,
$$4a + 8 = 12 \implies 4a = 4 \implies a = 1$$
$a=1$을 아까 구한 $\text{(식 1)}$에 대입하면:
$$b^2 = 8 \implies b = 2\sqrt{2} \quad (\because b > 0)$$
따라서 각 점의 좌표는 다음과 같아:
- $\text{P}(1, 2\sqrt{2})$
- $\text{F}'(-2, 2\sqrt{2})$
4단계: 교점 $\text{Q}$의 $y$좌표 구하기
삼각형 $\text{PF}'\text{Q}$의 넓이를 구하려면 점 $\text{Q}$의 좌표를 알아야 해.
새로운 포물선의 방정식을 세워보자. 꼭짓점이 $(1, 2\sqrt{2})$이고, 초점과의 거리 $p' = 3$이며 왼쪽으로 열려 있으므로:
$$(y - 2\sqrt{2})^2 = -4 \cdot 3 \cdot (x - 1) \implies (y - 2\sqrt{2})^2 = -12(x - 1)$$
이 포물선과 원래 포물선 $y^2 = 8x$ (즉, $x = \frac{y^2}{8}$)의 교점을 구하기 위해 대입하자.
$$(y - 2\sqrt{2})^2 = -12\left(\frac{y^2}{8} - 1\right)$$
$$y^2 - 4\sqrt{2}y + 8 = -\frac{3}{2}y^2 + 12$$
양변에 2를 곱해서 정리하면:
$$2y^2 - 8\sqrt{2}y + 16 = -3y^2 + 24$$
$$5y^2 - 8\sqrt{2}y - 8 = 0$$
이 이차방정식을 근의 공식(짝수 공식)으로 풀면:
$$y = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 5 \cdot (-8)}}{5} = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{32 + 40}}{5} = \frac{4\sqrt{2} \pm 6\sqrt{2}}{5}$$
따라서 $y = 2\sqrt{2}$ 또는 $y = -\frac{2}{5}\sqrt{2}$ 이란다.
이 중 $y = 2\sqrt{2}$는 이미 알고 있는 교점 $\text{P}$의 $y$좌표이므로, 우리가 찾는 점 $\text{Q}$의 $y$좌표는 다음과 같아.
$$y_0 = -\frac{2}{5}\sqrt{2}$$
5단계: 삼각형 $\text{PF}'\text{Q}$의 넓이 구하기
이제 마지막 단계야! 삼각형 $\text{PF}'\text{Q}$의 넓이를 구해보자.
- **밑변 $\text{PF}'$**: 점 $\text{P}(1, 2\sqrt{2})$와 $\text{F}'(-2, 2\sqrt{2})$는 $y$좌표가 같으므로 $x$축과 평행한 선분이야.
$$\text{밑변의 길이} = 1 - (-2) = 3$$
- **높이 $h$**: 점 $\text{Q}$에서 직선 $\text{PF}'$($y = 2\sqrt{2}$)까지의 수직 거리야.
$$h = 2\sqrt{2} - \left(-\frac{2}{5}\sqrt{2}\right) = \frac{12}{5}\sqrt{2}$$
따라서 삼각형의 넓이 $S$는:
$$S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{12}{5}\sqrt{2} = \frac{18}{5}\sqrt{2}$$
문제에서 넓이가 $\frac{q}{p}\sqrt{2}$라고 했고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이므로:
$$p = 5, \quad q = 18$$
우리가 구하고자 하는 값은 $p+q$이므로:
$$p + q = 5 + 18 = 23$$
답
$$23$$
확인해보기
배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까? 다음 질문에 답해 보렴.
질문: 포물선 $y^2 = 12x$ 위의 한 점 $\text{A}$에서 초점 $\text{F}$까지의 거리가 $7$일 때, 점 $\text{A}$의 $x$좌표는 무엇일까요? (포물선의 정의를 떠올려 보세요!)