어떤 문제인가
이 문제는 벡터의 연산과 기하학적 성질을 결합하여, 특정 조건을 만족하는 점 $X$의 위치를 찾고 그에 따른 실수 $k$의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 시점 통일하기: 여러 점으로 흩어진 벡터들을 하나의 기준점(여기서는 점 $C$)을 시점으로 통일하여 식을 단순하게 만듭니다.
- 좌표평면 도입하기: 정육각형의 성질을 이용하여 도형을 좌표평면에 올려놓으면 복잡한 기하 문제를 직관적인 대수 문제(방정식과 부등식)로 바꿀 수 있습니다.
- 벡터의 자취 이해하기: 두 벡터의 합으로 표현된 점 $X$의 영역(자취)이 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 해석합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (나)를 시점 $C$로 통일하여 정리하기
조건 (가)가 시점이 $C$인 벡터들로 표현되어 있으므로, 조건 (나)의 모든 벡터도 시점을 $C$로 통일해 봅시다.
벡터의 뺄셈 성질($\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{CY} - \overrightarrow{CX}$)을 이용하면 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.
- $\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CX}$
- $\overrightarrow{XC} = -\overrightarrow{CX}$
- $\overrightarrow{XD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CX}$
이 식들을 조건 (나)에 대입해 봅시다.
$$(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CX}) + (-\overrightarrow{CX}) + 2(\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CX}) = k\overrightarrow{CD}$$
동류항끼리 묶어서 정리하면 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{CA} + 2\overrightarrow{CD} - 4\overrightarrow{CX} = k\overrightarrow{CD}$$
우리가 궁금한 것은 $\overrightarrow{CX}$이므로, 이 벡터에 대해 식을 정리합니다.
$$4\overrightarrow{CX} = \overrightarrow{CA} + (2-k)\overrightarrow{CD}$$
$$\overrightarrow{CX} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} + \frac{2-k}{4}\overrightarrow{CD} \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 좌표평면 도입하여 점 $X$의 좌표 구하기
정육각형을 좌표평면에 올려놓으면 계산이 훨씬 쉬워집니다. 점 $C$를 원점 $(0,0)$으로 잡고, 가장 아래쪽 변 $CD$가 $x$축 위에 오도록 설정해 봅시다.
- 한 변의 길이가 $4$이므로, $C = (0,0)$, $D = (4,0)$입니다.
- 정육각형의 내각은 $120^\circ$이므로, 이를 이용해 꼭짓점 $A$의 좌표를 구하면 $A = (0, 4\sqrt{3})$이 됩니다.
이제 이 좌표들을 (식 1)에 대입하여 점 $X$의 좌표를 $k$에 대한 식으로 나타내 봅시다.
$$\overrightarrow{CA} = (0, 4\sqrt{3})$$
$$\overrightarrow{CD} = (4,0)$$
이를 (식 1)에 대입하면:
$$\overrightarrow{CX} = \frac{1}{4}(0, 4\sqrt{3}) + \frac{2-k}{4}(4,0) = (2-k, \sqrt{3})$$
계산이 아주 깔끔해졌습니다! 점 $X$의 $y$좌표는 항상 $\sqrt{3}$으로 일정하고, $x$좌표만 $k$에 따라 변합니다.
편의를 위해 $t = 2-k$라고 두면, 점 $X$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$X = (t, \sqrt{3})$$
이때 구하고자 하는 $|\overrightarrow{CX}|$의 길이는 다음과 같습니다.
$$|\overrightarrow{CX}| = \sqrt{t^2 + 3} \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 조건 (가)를 통해 점 $X$가 존재할 수 있는 영역 구하기
이제 조건 (가)를 해석해 봅시다.
$$\overrightarrow{CX} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CP} + \overrightarrow{CQ}$$
- 점 $P$는 한 변의 길이가 $4$인 정육각형 $ABCDEF$의 변 위를 움직입니다. 따라서 $\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}$가 나타내는 점(이를 $Y$라 합시다)은 원래 정육각형을 $C$를 중심으로 $\frac{1}{2}$배 축소한 **한 변의 길이가 $2$인 정육각형 $H'$의 변 위**를 움직입니다.
- 점 $Q$는 $C$를 중심으로 하고 반지름이 $1$인 원 위를 움직이므로, $\overrightarrow{CQ}$는 크기가 $1$인 모든 방향의 벡터입니다.
따라서 $\overrightarrow{CX} = \overrightarrow{CY} + \overrightarrow{CQ}$라는 것은, **점 $X$가 축소된 정육각형 $H'$의 변 위의 임의의 점 $Y$로부터 거리가 정확히 $1$인 점**이라는 뜻입니다.
즉, 점 $X$가 존재하기 위한 조건은 **"점 $X$에서 정육각형 $H'$의 둘레까지의 최단 거리가 $1$ 이하이어야 한다"**는 것입니다.
4단계: $t$의 범위 구하기
축소된 정육각형 $H'$의 꼭짓점 좌표를 구해봅시다. 원래 정육각형의 좌표들을 각각 $\frac{1}{2}$배 하면 됩니다.
- $C' = (0,0)$
- $D' = (2,0)$
- $E' = (3, \sqrt{3})$
- $F' = (2, 2\sqrt{3})$
- $A' = (0, 2\sqrt{3})$
- $B' = (-1, \sqrt{3})$
우리가 찾는 점 $X(t, \sqrt{3})$는 직선 $y = \sqrt{3}$ 위에 있습니다. 이 직선은 정육각형 $H'$의 두 꼭짓점 $B'(-1, \sqrt{3})$와 $E'(3, \sqrt{3})$를 지나는 가로선입니다.
이제 $t$의 값에 따라 정육각형 $H'$의 둘레까지의 거리가 $1$ 이하가 되는 범위를 나누어 구해봅시다.
- **$X$가 정육각형 외부에 있을 때 ($t > 3$ 또는 $t < -1$)**
* $t > 3$일 때, $X$에서 정육각형 $H'$까지의 최단 거리는 꼭짓점 $E'(3, \sqrt{3})$까지의 거리인 $t - 3$입니다. 이 거리가 $1$ 이하이어야 하므로:
$$t - 3 \le 1 \implies t \le 4$$
* $t < -1$일 때, 최단 거리는 꼭짓점 $B'(-1, \sqrt{3})$까지의 거리인 $-1 - t$입니다. 이 거리가 $1$ 이하이어야 하므로:
$$-1 - t \le 1 \implies t \ge -2$$
- **$X$가 정육각형 내부에 있을 때 ($-1 \le t \le 3$)**
* 이때는 $X$에서 정육각형의 비스듬한 변($D'E'$ 또는 $E'F'$)까지의 수직 거리가 $1$ 이하이어야 합니다.
* 직선 $D'E'$의 방정식은 기울기가 $\sqrt{3}$이고 $(2,0)$을 지나므로 $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$입니다.
* 점 $X(t, \sqrt{3})$에서 이 직선까지의 거리는 다음과 같습니다.
$$\text{거리} = \frac{|\sqrt{3}t - \sqrt{3} - 2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{\sqrt{3}|t-3|}{2}$$
* 이 거리가 $1$ 이하이어야 하므로:
$$\frac{\sqrt{3}(3-t)}{2} \le 1 \implies 3-t \le \frac{2}{\sqrt{3}} \implies t \ge 3 - \frac{2}{\sqrt{3}}$$
* 반대편 변에 대해서도 대칭성을 이용하면 다음 범위를 얻습니다.
$$t \le -1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$$
따라서 가능한 $t$의 전체 범위는 다음과 같습니다.
$$t \in \left[ -2, -1 + \frac{2}{\sqrt{3}} \right] \cup \left[ 3 - \frac{2}{\sqrt{3}}, 4 \right]$$
5단계: 최댓값과 최솟값을 갖는 $k$ 구하기
(식 2)에서 $|\overrightarrow{CX}| = \sqrt{t^2 + 3}$이므로, 이 값이 최소가 되려면 $t^2$이 최소이어야 하고, 최대가 되려면 $t^2$이 최대이어야 합니다.
- 최소일 때: $t$의 범위 안에 $0$이 포함되어 있으므로, $t = 0$일 때 $t^2$은 최솟값 $0$을 가집니다.
이때 $k = 2 - t = 2$이므로, $\alpha = 2$입니다.
- 최대일 때: $t$의 범위 양 끝값인 $-2$와 $4$ 중에서 제곱했을 때 더 큰 값은 $t = 4$입니다.
이때 $k = 2 - t = 2 - 4 = -2$이므로, $\beta = -2$입니다.
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8$$
답
$$8$$
확인해보기
만약 조건 (가)에서 점 $Q$가 움직이는 원의 반지름의 길이가 $1$이 아니라 $2$로 바뀐다면, 점 $X$가 존재할 수 있는 $t$의 범위는 어떻게 변할까요? 위 풀이 과정을 참고하여 스스로 생각해보세요!