어떤 문제인가
이 문제는 주어진 5개의 문자 중에서 똑같은 문자($a$)가 여러 개 포함되어 있을 때, 이들을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **순열 ($n!$)**: 서로 다른 $n$개를 일렬로 나열하는 방법의 수입니다.
- 같은 것이 있는 순열: 나열하려는 대상 중에 모양이 똑같은 것이 섞여 있을 때, 중복되는 경우의 수를 나누어 해결하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 모든 문자가 서로 다르다고 가정하고 나열해 보기
만약 문제의 문자 5개가 모두 다른 문자(예: $a_1, a_2, a_3, b, c$)라고 가정해 봅시다.
서로 다른 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 다음과 같이 구합니다.
$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
2단계: 똑같은 문자 때문에 생기는 중복 생각하기
하지만 실제로는 $a_1, a_2, a_3$은 구분되지 않는 똑같은 문자 $a$입니다.
예를 들어, $a_1 a_2 a_3 b c$와 $a_2 a_1 a_3 b c$는 실제로는 둘 다 $a a a b c$로 똑같은 한 가지 경우입니다.
이렇게 똑같은 문자 $a$ 3개가 자기들끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 $3!$가지 입니다.
$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$
즉, 실제로는 1가지로 보여야 할 것이, 문자들을 구분하는 바람에 $3!$배만큼 부풀려져 계산된 것입니다.
3단계: 중복된 만큼 나누어 진짜 경우의 수 구하기
따라서 전체 경우의 수 $5!$에서 중복되는 만큼인 $3!$으로 나누어 주어야 정확한 경우의 수가 나옵니다.
$$\frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}$$
분모와 분자에서 $3 \times 2 \times 1$을 약분하면 다음과 같이 간단해집니다.
$$5 \times 4 = 20$$
따라서 구하고자 하는 경우의 수는 $20$가지입니다.
답
② 20
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 4개의 문자 $a$, $a$, $b$, $b$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 몇 가지일까요? (이번에는 같은 문자가 $a$ 2개, $b$ 2개 있습니다.)