어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 주머니 $\text{A}$, $\text{B}$에서 각각 카드를 한 장씩 꺼냈을 때, **두 카드에 적힌 수의 차가 $1$이 될 확률**을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 전체 경우의 수: 두 주머니에서 카드를 각각 한 장씩 꺼낼 때 나올 수 있는 모든 순서쌍의 개수 (곱의 법칙 사용)
- 조건을 만족하는 경우의 수: 두 수의 차가 $1$이 되는 구체적인 경우를 빠짐없이 찾기
- 확률의 정의: $\frac{\text{조건을 만족하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}$
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저, 두 주머니에서 카드를 각각 한 장씩 꺼낼 때 일어날 수 있는 모든 경우의 수를 구해봅시다.
- 주머니 $\text{A}$에는 $1, 2, 3$이 적힌 $3$장의 카드가 있습니다. (선택지 $3$가지)
- 주머니 $\text{B}$에는 $1, 2, 3, 4, 5$가 적힌 $5$장의 카드가 있습니다. (선택지 $5$가지)
두 주머니에서 각각 하나씩 동시에 꺼내는 것이므로, 곱의 법칙을 적용합니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 3 \times 5 = 15$$
2단계: 두 수의 차가 $1$이 되는 경우의 수 구하기
이제 주머니 $\text{A}$에서 꺼낸 카드의 수를 $a$, 주머니 $\text{B}$에서 꺼낸 카드의 수를 $b$라고 합시다. 두 수의 차가 $1$이라는 것은 $|a - b| = 1$이라는 뜻입니다.
$a$의 값에 따라 가능한 $b$의 값을 하나씩 차근차근 찾아볼까요?
- **$a = 1$일 때:**
차가 $1$이 되려면 $b$는 $2$이어야 합니다. (주머니 $\text{B}$에 $2$가 있으므로 가능)
* 가능한 순서쌍 $(a, b)$: $(1, 2)$ $\rightarrow$ **$1$가지**
- **$a = 2$일 때:**
차가 $1$이 되려면 $b$는 $1$ 또는 $3$이어야 합니다. (주머니 $\text{B}$에 $1$과 $3$이 모두 있으므로 가능)
* 가능한 순서쌍 $(a, b)$: $(2, 1)$, $(2, 3)$ $\rightarrow$ **$2$가지**
- **$a = 3$일 때:**
차가 $1$이 되려면 $b$는 $2$ 또는 $4$이어야 합니다. (주머니 $\text{B}$에 $2$와 $4$가 모두 있으므로 가능)
* 가능한 순서쌍 $(a, b)$: $(3, 2)$, $(3, 4)$ $\rightarrow$ **$2$가지**
따라서 두 수의 차가 $1$이 되는 총 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{조건을 만족하는 경우의 수} = 1 + 2 + 2 = 5$$
3단계: 확률 계산하기
확률의 정의에 따라, 전체 경우의 수 분에 조건을 만족하는 경우의 수를 계산합니다.
$$\text{확률} = \frac{\text{조건을 만족하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{5}{15}$$
이 분수를 약분하면 다음과 같습니다.
$$\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$
답
**① $\frac{1}{3}$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문] 만약 주머니 $\text{A}$와 주머니 $\text{B}$에서 각각 카드를 한 장씩 꺼낼 때, **두 카드에 적힌 수의 차가 $2$일 확률**은 얼마일까요? 위 풀이 과정을 참고하여 직접 구해보세요!