어떤 문제인가
이 문제는 주사위를 여러 번 던지는 반복적인 상황에서 특정 조건이 일어날 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 독립시행의 확률: 각 주사위를 던지는 시행은 서로 영향을 주지 않는 독립적인 사건입니다.
- 여사건의 확률: '2 이상일 확률'을 직접 구하는 것보다, 전체 확률 $1$에서 '2 미만(0 또는 1)일 확률'을 빼서 구하는 것이 훨씬 빠르고 편리합니다.
단계별 풀이
1단계: 한 번 시행할 때 점 $\mathrm{P}$가 이동할 확률 구하기
먼저 주사위를 한 번 던졌을 때, 점 $\mathrm{P}$가 양의 방향으로 $1$만큼 이동할 확률을 구해봅시다.
- 주사위의 눈은 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$으로 총 $6$가지입니다.
- 이 중 $6$의 약수는 $\{1, 2, 3, 6\}$으로 총 $4$가지입니다.
따라서, 한 번의 시행에서 점 $\mathrm{P}$가 이동할 확률(성공 확률) $p$는 다음과 같습니다.
$$p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
이동하지 않을 확률(실패 확률) $q$는 다음과 같습니다.
$$q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
2단계: 문제의 조건을 단순화하기
시행을 총 $4$번 반복합니다. 점 $\mathrm{P}$는 원점($0$)에서 출발하므로, $4$번째 시행 후 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 '6의 약수가 나온 횟수'와 같습니다.
우리가 구하고자 하는 것은 **'최종 좌표가 $2$ 이상일 확률'**입니다. 즉, $4$번 중 $6$의 약수가 $2$번, $3$번, 또는 $4$번 나올 확률을 구해야 합니다.
3단계: 여사건 이용하기
$2$ 이상인 경우($2$번, $3$번, $4$번)를 각각 구해서 더하는 것보다, 그 반대인 **'2 미만인 경우($0$번, $1$번)'**를 구해서 전체 확률 $1$에서 빼는 것이 계산이 더 간단합니다.
- **사건 $A$**: 최종 좌표가 $2$ 이상인 사건
- **여사건 $A^c$**: 최종 좌표가 $2$ 미만인 사건 (즉, 이동 횟수가 $0$번 또는 $1$번인 사건)
우리가 구하고자 하는 확률은 다음과 같습니다.
$$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - [P(0\text{번 이동}) + P(1\text{번 이동})]$$
4단계: 여사건의 확률 계산하기
독립시행의 확률 공식 ${}_n\mathrm{C}_r p^r q^{n-r}$을 이용하여 각각의 확률을 구해봅시다. (여기서 $n=4$, $p=\frac{2}{3}$, $q=\frac{1}{3}$입니다.)
- **$0$번 이동할 확률 $P(0\text{번})$**:
$$P(0\text{번}) = {}_4\mathrm{C}_0 \left(\frac{2}{3}\right)^0 \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{81} = \frac{1}{81}$$
- **$1$번 이동할 확률 $P(1\text{번})$**:
$$P(1\text{번}) = {}_4\mathrm{C}_1 \left(\frac{2}{3}\right)^1 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 4 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{27} = \frac{8}{81}$$
따라서 여사건의 확률의 합은 다음과 같습니다.
$$P(A^c) = \frac{1}{81} + \frac{8}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$$
5단계: 최종 확률 구하기
이제 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률을 뺍니다.
$$P(A) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$$
답
④ $\frac{8}{9}$
확인해보기
만약 이 시행을 $4$번 반복할 때, 점 $\mathrm{P}$의 최종 좌표가 **정확히 $3$**이 될 확률은 어떻게 식을 세워 구할 수 있을까요? 스스로 식을 세우고 계산해 보세요.