어떤 문제인가
이 문제는 두 다항식의 곱으로 이루어진 식을 전개했을 때, 특정 차수($x^5$)의 계수를 알려주고 다른 차수($x^6$)의 계수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 이항정리의 일반항: $(a+b)^m$의 전개식에서 일반항은 $\binom{m}{r} a^{m-r} b^r$ 입니다.
- 지수법칙: $x^a \times x^b = x^{a+b}$ 임을 이용하여 두 다항식의 곱에서 차수를 합산합니다.
- 부정방정식의 해 구하기: 차수를 결정하는 식에서 조건에 맞는 정수 쌍을 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 전개식의 일반항 세우기
두 다항식 $(x^2+1)^4$과 $(x^3+1)^n$을 각각 이항정리를 이용해 일반항으로 나타내어 봅시다. 두 식을 곱할 것이므로, 서로 다른 문자 $r$과 $s$를 사용하여 일반항을 세워야 합니다.
- $(x^2+1)^4$의 일반항:
$$\binom{4}{r} (x^2)^r (1)^{4-r} = \binom{4}{r} x^{2r} \quad (단, 0 \le r \le 4인 정수)$$
- $(x^3+1)^n$의 일반항:
$$\binom{n}{s} (x^3)^s (1)^{n-s} = \binom{n}{s} x^{3s} \quad (단, 0 \le s \le n인 정수)$$
이 두 일반항을 곱하면 전체 전개식의 일반항을 얻을 수 있습니다.
$$\binom{4}{r} \binom{n}{s} x^{2r+3s}$$
이 식에서 $x$의 차수는 $2r+3s$가 되고, 계수는 $\binom{4}{r} \binom{n}{s}$가 됩니다.
2단계: $x^5$의 계수가 $12$임을 이용하여 $n$ 구하기
$x^5$의 계수를 구하기 위해 차수인 $2r+3s$가 $5$가 되는 정수 $r, s$의 쌍을 찾아봅시다.
$$2r + 3s = 5 \quad (0 \le r \le 4, \ 0 \le s \le n)$$
이 방정식을 만족하는 음이 아닌 정수 $(r, s)$를 찾아보면:
- $s = 0$일 때: $2r = 5 \implies$ 만족하는 정수 $r$이 없습니다.
- $s = 1$일 때: $2r + 3 = 5 \implies 2r = 2 \implies r = 1$ (조건 만족!)
- $s \ge 2$일 때: $2r + 3s \ge 6$이 되므로 합이 $5$가 될 수 없습니다.
따라서 조건을 만족하는 순서쌍은 $(r, s) = (1, 1)$ 뿐입니다.
이제 이 값을 계수 식에 대입하여 $n$을 구합니다.
$$\text{계수} = \binom{4}{1} \binom{n}{1} = 4 \times n = 4n$$
문제에서 이 계수가 $12$라고 했으므로,
$$4n = 12 \implies n = 3$$
3단계: $n=3$일 때, $x^6$의 계수 구하기
이제 $n=3$임을 알았으므로 전체 식은 $(x^2+1)^4(x^3+1)^3$이 됩니다. 일반항은 다음과 같습니다.
$$\binom{4}{r} \binom{3}{s} x^{2r+3s} \quad (0 \le r \le 4, \ 0 \le s \le 3)$$
우리가 구하고자 하는 것은 $x^6$의 계수이므로, 차수 식을 다음과 같이 세웁니다.
$$2r + 3s = 6$$
이 식을 만족하는 음이 아닌 정수 순서쌍 $(r, s)$를 찾아봅시다.
- $s = 0$일 때: $2r = 6 \implies r = 3$ (조건 만족!)
- $s = 1$일 때: $2r + 3 = 6 \implies 2r = 3 \implies$ 만족하는 정수 $r$이 없습니다.
- $s = 2$일 때: $2r + 6 = 6 \implies 2r = 0 \implies r = 0$ (조건 만족!)
- $s = 3$일 때: $2r + 9 = 6 \implies 2r = -3 \implies$ 음수가 되므로 불가능합니다.
따라서 가능한 순서쌍은 $(3, 0)$과 $(0, 2)$ 두 가지 경우가 있습니다. 이 두 경우의 계수를 각각 구해 더해주면 됩니다.
- **$(r, s) = (3, 0)$인 경우**:
$$\binom{4}{3} \binom{3}{0} = 4 \times 1 = 4$$
- **$(r, s) = (0, 2)$인 경우**:
$$\binom{4}{0} \binom{3}{2} = 1 \times 3 = 3$$
두 계수를 더하면 최종 $x^6$의 계수가 됩니다.
$$4 + 3 = 7$$
답
**② $7$**
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 확인하기 위해 다음 질문에 스스로 답해 보세요.
> 질문: 위 문제에서 구한 다항식 $(x^2+1)^4(x^3+1)^3$의 전개식에서 $x^4$의 계수는 얼마일까요? (힌트: $2r+3s=4$를 만족하는 정수 쌍을 먼저 찾아보세요!)