어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 맞게 문자들을 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 조건에 따른 자리 배치: 제한 조건이 있는 자리(양 끝)를 먼저 결정합니다.
- 조합과 위치 선정: 특정 문자($a$)가 들어갈 자리를 선택합니다.
- 중복순열과 곱의 법칙: 남은 자리에 들어갈 수 있는 문자의 경우의 수를 구하고, 모든 단계의 경우의 수를 곱합니다.
단계별 풀이
6개의 자리를 순서대로 빈칸으로 나타내어 봅시다.
$$\underline{\quad} \ \underline{\quad} \ \underline{\quad} \ \underline{\quad} \ \underline{\quad} \ \underline{\quad}$$
편의상 왼쪽부터 1번, 2번, 3번, 4번, 5번, 6번 자리라고 부를게요.
1단계: 양 끝(1번, 6번) 자리에 대문자 배열하기
조건 (가)에 의해 양 끝인 1번과 6번 자리에는 반드시 대문자($X, Y$)만 올 수 있습니다.
- 1번 자리에 올 수 있는 문자: $X, Y$ (2가지)
- 6번 자리에 올 수 있는 문자: $X, Y$ (2가지)
따라서 양 끝 자리를 채우는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$2 \times 2 = 4\text{가지}$$
2단계: 문자 $a$가 들어갈 자리 정하기
조건 (나)에서 소문자 $a$는 단 한 번만 나와야 합니다.
그런데 1번과 6번 자리는 이미 대문자가 차지했으므로, $a$는 가운데 4개의 자리(2번, 3번, 4번, 5번) 중 딱 한 곳에만 들어갈 수 있습니다.
- 4개의 자리 중 $a$가 들어갈 1개의 자리를 선택하는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\binom{4}{1} = 4\text{가지}$$
3단계: 남은 3개의 자리 채우기
이제 가운데 4개의 자리 중 $a$가 들어간 자리를 제외한 나머지 3개의 자리를 채워야 합니다.
이 자리에 쓸 수 있는 문자는 무엇일까요?
- 사용할 수 있는 전체 문자는 $a, b, X, Y$입니다.
- 하지만 조건 (나)에 의해 $a$는 이미 한 번 사용되었으므로 더 이상 사용할 수 없습니다.
- 따라서 남은 자리에는 $b, X, Y$의 3가지 문자 중에서 중복을 허락하여 선택할 수 있습니다.
남은 3개의 자리를 채우는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27\text{가지}$$
4단계: 전체 경우의 수 계산하기
모든 단계는 연속적으로 일어나므로 곱의 법칙을 적용합니다.
$$\text{(양 끝 자리)} \times \text{(}a\text{의 자리)} \times \text{(남은 자리)}$$
$$= 4 \times 4 \times 27$$
$$= 16 \times 27 = 432\text{가지}$$
답
③ 432
확인해보기
위 문제를 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> [질문]
> 만약 조건 (나)가 **"$a$는 정확히 두 번 나온다"**로 바뀐다면, 조건을 만족하도록 나열하는 경우의 수는 어떻게 될까요? (조건 (가)는 그대로 유지됩니다.)