어떤 문제인가
이 문제는 주어진 숫자 카드를 이용해 네 자리 자연수를 만들 때, 특정 조건(5의 배수 또는 3500 이상)을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **순열 (${}_nP_r$):** 서로 다른 $n$개 중에서 $r$개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수를 구합니다.
- 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A, B$에 대하여 'A 또는 B가 일어날 확률'은 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$로 구합니다.
- 조건을 만족하는 경우의 수 나누기: '5의 배수'인 조건과 '3500 이상'인 조건을 각각 만족하는 경우를 빠짐없이 나누어 세어봅니다.
단계별 풀이
1단계: 모든 경우의 수(전체 사건) 구하기
먼저, 숫자 $1, 2, 3, 4, 5$ 중에서 서로 다른 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리 자연수의 개수를 구해봅시다.
이것은 서로 다른 5개 중에서 4개를 택해 나열하는 순열의 수와 같습니다.
$$n(S) = {}_5P_4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$$
전체 경우의 수는 **$120$가지**입니다.
2단계: '5의 배수'인 경우의 수(사건 $A$) 구하기
자연수가 $5$의 배수가 되려면 일의 자리 숫자가 $0$ 또는 $5$여야 합니다. 사용할 수 있는 숫자가 $1, 2, 3, 4, 5$이므로, 일의 자리는 반드시 **$5$**가 되어야 합니다.
- 형태: $\square\square\square 5$
일의 자리에 $5$를 고정해 두었으므로, 남은 세 자리(천, 백, 십의 자리)에는 $5$를 제외한 남은 4개의 숫자 $\{1, 2, 3, 4\}$ 중에서 3개를 택해 나열하면 됩니다.
$$n(A) = {}_4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$$
따라서 5의 배수인 경우의 수는 **$24$가지**입니다.
3단계: '3500 이상'인 경우의 수(사건 $B$) 구하기
네 자리 수가 $3500$ 이상이 되는 경우를 천의 자리 숫자에 따라 나누어 생각해 봅시다.
- **경우 1) 천의 자리가 $3$인 경우**
$3500$ 이상이 되려면 백의 자리는 $5$가 되어야 합니다. (남은 숫자가 $1, 2, 4, 5$인데, $3500$보다 크려면 백의 자리에 $5$만 올 수 있습니다.)
* 형태: $35\square\square$
* 남은 두 자리에 $\{1, 2, 4\}$ 중 2개를 나열하는 경우의 수: ${}_3P_2 = 3 \times 2 = 6$가지
- **경우 2) 천의 자리가 $4$인 경우**
천의 자리가 $4$이면 백, 십, 일의 자리에 어떤 숫자가 와도 항상 $3500$보다 큽니다.
* 형태: $4\square\square\square$
* 남은 세 자리에 $\{1, 2, 3, 5\}$ 중 3개를 나열하는 경우의 수: ${}_4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$가지
- **경우 3) 천의 자리가 $5$인 경우**
천의 자리가 $5$인 경우도 항상 $3500$보다 큽니다.
* 형태: $5\square\square\square$
* 남은 세 자리에 $\{1, 2, 3, 4\}$ 중 3개를 나열하는 경우의 수: ${}_4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$가지
따라서 $3500$ 이상인 경우의 수 $n(B)$는 다음과 같습니다.
$$n(B) = 6 + 24 + 24 = 54\text{가지}$$
4단계: '5의 배수'이면서 동시에 '3500 이상'인 경우의 수(사건 $A \cap B$) 구하기
두 조건 중 겹치는 부분이 있는지 확인해야 중복 계산을 막을 수 있습니다. 즉, **일의 자리가 $5$이면서 $3500$ 이상인 수**를 찾아봅시다.
앞서 3단계에서 구한 경우들을 다시 살펴봅시다. 단, 이번에는 **일의 자리가 $5$로 고정**되어야 합니다.
- **경우 1) 천의 자리가 $3$, 백의 자리가 $5$인 경우 ($35\square\square$)**
이미 백의 자리에 $5$를 사용했으므로, 일의 자리에 $5$가 올 수 없습니다. (서로 다른 숫자를 써야 하므로 경우의 수는 $0$가지)
- **경우 2) 천의 자리가 $4$이고 일의 자리가 $5$인 경우 ($4\square\square 5$)**
남은 십의 자리와 백의 자리에 $\{1, 2, 3\}$ 중 2개를 나열하면 됩니다.
* 경우의 수: ${}_3P_2 = 3 \times 2 = 6$가지
- **경우 3) 천의 자리가 $5$인 경우 ($5\square\square\square$)**
이미 천의 자리에 $5$를 사용했으므로, 일의 자리에 $5$가 올 수 없습니다. (경우의 수는 $0$가지)
따라서 두 조건을 동시에 만족하는 경우의 수는 **$6$가지**입니다.
$$n(A \cap B) = 6$$
5단계: 확률 계산하기
이제 확률의 덧셈정리를 이용하여 최종 확률을 구합니다.
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
$$P(A \cup B) = \frac{24}{120} + \frac{54}{120} - \frac{6}{120}$$
$$P(A \cup B) = \frac{24 + 54 - 6}{120} = \frac{72}{120}$$
분수 $\frac{72}{120}$를 약분해 봅시다. 분모와 분자를 $24$로 나누면 다음과 같습니다.
$$\frac{72 \div 24}{120 \div 24} = \frac{3}{5}$$
답
정답은 **④ $\frac{3}{5}$** 입니다.
확인해보기
확률의 덧셈정리에서 $P(A)$와 $P(B)$를 더한 후, 왜 두 사건이 동시에 일어나는 확률인 $P(A \cap B)$를 빼주어야 할까요? 그 이유를 스스로 설명해 보세요.