어떤 문제인가
이 문제는 특정 조건이 주어졌을 때 다른 사건이 일어날 확률을 구하는 조건부 확률 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 조건부 확률: 사건 $A$가 일어났을 때 사건 $B$가 일어날 확률은 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$로 구합니다. 즉, 전체 경우의 수가 아니라 '조건 $A$를 만족하는 경우'만을 대상으로 문제를 푸는 것입니다.
- 경우의 수 나누기: 조건 $b - a \ge 5$와 $c - a \ge 10$을 만족하는 세 수 $(a, b, c)$의 순서쌍을 기준을 세워 빠짐없이 세는 법을 배웁니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 $A$($b - a \ge 5$)를 만족하는 경우의 수 $n(A)$ 구하기
우리는 1부터 12까지의 자연수 중에서 서로 다른 3개의 수 $a, b, c$를 택합니다. 이때 크기 순서가 $a < b < c$로 정해져 있으므로, 세 수를 고르기만 하면 $a, b, c$는 자동으로 결정됩니다.
조건 $b - a \ge 5$를 만족하는 경우의 수를 구하기 위해, 가장 작은 수 $a$의 값을 기준으로 경우를 나누어 봅시다. $b$는 $a+5$ 이상이어야 하고, $c$는 $b$보다 큰 수($b+1$ 이상 12 이하)여야 합니다.
- **$a = 1$일 때**: $b \ge 6$이어야 합니다.
* $b = 6$이면, $c$는 $7$부터 $12$까지 가능하므로 6가지
* $b = 7$이면, $c$는 $8$부터 $12$까지 가능하므로 5가지
* ...
* $b = 11$이면, $c$는 $12$만 가능하므로 1가지
* 따라서 $a=1$일 때의 경우의 수는 $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$가지입니다.
- **$a = 2$일 때**: $b \ge 7$이어야 합니다.
* $b = 7$이면, $c$는 $8$부터 $12$까지 가능하므로 5가지
* ...
* $b = 11$이면, $c$는 $12$만 가능하므로 1가지
* 따라서 $a=2$일 때의 경우의 수는 $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$가지입니다.
- **$a = 3$일 때**: $b \ge 8$이어야 합니다.
* 같은 방식으로 계산하면 $4 + 3 + 2 + 1 = 10$가지입니다.
- **$a = 4$일 때**: $b \ge 9$이어야 합니다.
* $3 + 2 + 1 = 6$가지입니다.
- **$a = 5$일 때**: $b \ge 10$이어야 합니다.
* $2 + 1 = 3$가지입니다.
- **$a = 6$일 때**: $b \ge 11$이어야 합니다.
* $b=11, c=12$인 경우로 1가지입니다.
($a \ge 7$이면 $b \ge 12$가 되어 $c$가 존재할 수 없습니다.)
이제 모든 경우의 수를 더해봅시다.
$$n(A) = 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56$$
2단계: 조건 $A$와 조건 $B$를 동시에 만족하는 경우의 수 $n(A \cap B)$ 구하기
이번에는 $b - a \ge 5$이면서 동시에 $c - a \ge 10$인 경우를 찾아봅시다.
가장 큰 수 $c$가 아무리 커봐야 12이므로, $c - a \ge 10$을 만족하려면 $a$와 $c$의 선택지가 매우 제한됩니다. 가능한 $(a, c)$의 쌍을 먼저 찾아봅시다.
- **$a = 1$일 때**: $c$는 $11$ 또는 $12$가 가능합니다.
* **$c = 11$인 경우**: $b$는 $a+5 \le b < c$를 만족해야 하므로, $6 \le b < 11$입니다. 즉, $b$가 될 수 있는 수는 $6, 7, 8, 9, 10$으로 5가지입니다.
* **$c = 12$인 경우**: $b$는 $6 \le b < 12$를 만족해야 하므로, $b$가 될 수 있는 수는 $6, 7, 8, 9, 10, 11$로 6가지입니다.
- **$a = 2$일 때**: $c$는 $12$만 가능합니다.
* **$c = 12$인 경우**: $b$는 $a+5 \le b < c$를 만족해야 하므로, $7 \le b < 12$입니다. 즉, $b$가 될 수 있는 수는 $7, 8, 9, 10, 11$로 5가지입니다.
- **$a \ge 3$일 때**: $c \ge a + 10 \ge 13$이 되어야 하므로, 공의 적힌 수의 범위를 벗어나 불가능합니다.
따라서 두 조건을 동시에 만족하는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$n(A \cap B) = 5 + 6 + 5 = 16$$
3단계: 조건부 확률 계산하기
구하고자 하는 조건부 확률 $P(B|A)$는 다음과 같습니다.
$$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{16}{56}$$
이 분수를 약분하여 기약분수로 만들어 봅시다. 분모와 분자를 각각 8로 나누면,
$$P(B|A) = \frac{2}{7}$$
따라서 $p = 7$, $q = 2$가 되며, 두 수는 서로소인 자연수라는 조건을 만족합니다.
우리가 구하고자 하는 값은 $p + q$이므로,
$$p + q = 7 + 2 = 9$$
답
$$9$$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 확인하기 위해 다음 질문에 대해 스스로 생각해보세요.
> 주머니에 1부터 10까지의 자연수가 적힌 10개의 공이 있습니다. 이 중 3개의 공을 꺼내 크기 순서대로 $a, b, c$라 할 때, 조건 $b - a \ge 4$를 만족하면서 동시에 $c - a \ge 8$을 만족하는 순서쌍 $(a, b, c)$는 어떤 것들이 있을지 직접 나열해 볼 수 있나요? (답은 구하지 않고, 어떤 순서쌍들이 가능한지만 머릿속으로 그려보세요.)