어떤 문제인가
이 문제는 $x$가 $0$으로 가까이 갈 때, 지수함수를 포함한 식의 극한값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수의 극한 기본 공식: $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$ (단, $a > 0, a \neq 1$)
- 공통인수로 묶기 (인수분해): 복잡해 보이는 식을 우리가 아는 기본 공식의 형태로 변형하기
단계별 풀이
1단계: 분자를 관찰하고 공통인수로 묶기
주어진 식의 분자는 $4^x - 2^x$입니다. 여기서 $4^x$은 지수법칙에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$$
따라서 분자를 $2^x$이라는 공통인수로 묶어줄 수 있습니다.
$$4^x - 2^x = (2^x)^2 - 2^x = 2^x(2^x - 1)$$
이제 이 식을 원래의 극한식에 대입해 봅시다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{4^x - 2^x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2^x(2^x - 1)}{x}$$
2단계: 극한의 성질을 이용해 식 나누기
곱해진 두 부분 $2^x$와 $\frac{2^x - 1}{x}$로 식을 나누어 각각의 극한을 생각할 수 있습니다. 극한의 성질에 의해 다음과 같이 분리합니다.
$$\lim_{x \to 0} \left( 2^x \cdot \frac{2^x - 1}{x} \right) = \left( \lim_{x \to 0} 2^x \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x} \right)$$
3단계: 각각의 극한값 계산하기
이제 분리된 두 극한값을 각각 구해봅시다.
- 첫 번째 부분: $x \to 0$일 때, $2^x$은 단순히 $x$에 $0$을 대입한 값과 같습니다.
$$\lim_{x \to 0} 2^x = 2^0 = 1$$
- 두 번째 부분: 지수함수의 극한 공식 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$를 적용합니다. 여기서는 $a=2$이므로 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x} = \ln 2$$
4단계: 최종 결과 구하기
두 값을 곱해주면 우리가 원하는 극한값을 얻을 수 있습니다.
$$\left( \lim_{x \to 0} 2^x \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x} \right) = 1 \cdot \ln 2 = \ln 2$$
답
**① $\ln 2$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 적용해서 다음 극한값은 어떻게 구할 수 있을지 스스로 생각해보세요. (힌트: 분자를 공통인수로 묶어보세요!)
$$\lim_{x \to 0} \frac{9^x - 3^x}{x}$$