어떤 문제인가
이 문제는 주어진 정적분 식의 값을 구하는 문제입니다. 식을 가만히 들여다보면, 우리가 바로 적분하기 까다로운 형태를 하고 있어요. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 삼각함수의 각 변환 공식: 복잡해 보이는 삼각함수 식 $\cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$를 친숙한 형태로 간단히 바꿉니다.
- 부분적분법 (Integration by parts): 다항함수($x$)와 삼각함수($\sin x$)가 곱해진 형태의 함수를 적분할 때 사용하는 방법입니다. 공식은 다음과 같습니다.
$$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$$
단계별 풀이
1단계: 삼각함수 단순화하기
가장 먼저 피적분 함수(적분 기호 안에 있는 식)를 다루기 쉽게 바꾸어 봅시다.
삼각함수의 성질 중에서 다음과 같은 공식이 있습니다.
$$\cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$
이 공식을 문제의 식에 대입하면, 구하고자 하는 정적분은 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$\int_{0}^{\pi} x \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx = \int_{0}^{\pi} x \sin x dx$$
이제 우리가 풀어야 할 문제는 $\int_{0}^{\pi} x \sin x dx$를 계산하는 것으로 바뀌었습니다.
2단계: 부분적분법 적용하기
$x$라는 다항함수와 $\sin x$라는 삼각함수가 곱해져 있으므로, 부분적분법을 사용해야 합니다.
어떤 것을 미분할 함수($u$)로 두고, 어떤 것을 적분할 함수($v'$)로 둘지 결정해야 합니다. 보통 '로·다·삼·지'(로그, 다항, 삼각, 지수함수 순서로 미분이 쉽다) 규칙에 따라 정합니다.
- 미분할 함수: $u = x \implies u' = 1$
- 적분할 함수: $v' = \sin x \implies v = -\cos x$
이제 부분적분 공식 $\int u v' dx = [uv] - \int u' v dx$에 대입해 봅시다.
$$\int_{0}^{\pi} x \sin x dx = [-x \cos x]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 1 \cdot (-\cos x) dx$$
마이너스 기호를 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\int_{0}^{\pi} x \sin x dx = [-x \cos x]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x dx$$
3단계: 값 계산하기
이제 식의 두 부분을 각각 계산해서 더해주면 됩니다.
**첫 번째 부분: $[-x \cos x]_{0}^{\pi}$**
위끝 $\pi$와 아래끝 $0$을 대입하여 뺍니다.
$$[-x \cos x]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos \pi) - (-0 \cdot \cos 0)$$
여기서 $\cos \pi = -1$ 이고, 뒤의 항은 $0$이 곱해지므로 $0$이 됩니다.
$$(-\pi \cdot (-1)) - 0 = \pi$$
**두 번째 부분: $\int_{0}^{\pi} \cos x dx$**
$\cos x$를 적분하면 $\sin x$가 됩니다.
$$\int_{0}^{\pi} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0$$
여기서 $\sin \pi = 0$ 이고 $\sin 0 = 0$ 이므로, 이 값은 다음과 같습니다.
$$0 - 0 = 0$$
두 결과를 더하면 최종 답을 얻을 수 있습니다.
$$\pi + 0 = \pi$$
답
정답은 **② $\pi$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 부분적분법을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
이번 문제와 아주 비슷하지만 적분 구간이 다른 아래의 문제를 스스로 풀어보세요.
> 질문: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x dx$ 의 값은 무엇일까요? (힌트: 풀이 과정의 3단계에서 적분 구간만 $0$부터 $\frac{\pi}{2}$까지로 바꾸어 계산해 보세요!)