어떤 문제인가
수렴하는 수열의 극한값을 구하는 문제예요. 조건 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n+2}{2} = 6$은 곧 $\lim_{n \to \infty} a_n = 10$을 뜻해요. 즉 $\{a_n\}$은 상수 $10$으로 수렴하는 수열입니다. 구하는 극한 $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n a_n + 1}{a_n + 2n}$은 분자·분모를 $n$으로 나누면 수렴하는 항들만 남아요. 사용할 핵심 개념은 수열의 극한의 성질과 **분자·분모를 $n$으로 나누는 기법** 두 가지입니다.
단계별 풀이
- **조건에서 $a_n$의 극한부터 구해요.** 주어진 식의 양변에 극한의 성질을 적용하면
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n+2}{2} = 6 \;\Longrightarrow\; \lim_{n \to \infty} (a_n+2) = 12 \;\Longrightarrow\; \lim_{n \to \infty} a_n = 10.$$
- **구하는 극한의 분자·분모를 $n$으로 나눠요.** 이렇게 하면 각 항이 수렴하는 꼴로 바뀝니다.
$$\frac{n a_n + 1}{a_n + 2n} = \frac{a_n + \dfrac{1}{n}}{\dfrac{a_n}{n} + 2}.$$
- 각 항의 극한을 대입해 값을 구해요. $n \to \infty$일 때 $a_n \to 10$, $\dfrac{1}{n} \to 0$, $\dfrac{a_n}{n} \to 0$ (수렴하는 수열을 $n$으로 나누면 0)이므로
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n a_n + 1}{a_n + 2n} = \frac{10 + 0}{0 + 2} = 5.$$
검산
조건을 만족하는 구체적인 수열을 만들어 큰 $n$을 직접 대입해 보면 답을 스스로 확인할 수 있어요. 수치 대입(node)으로 $a_n = 10 + \dfrac{7}{n} + \dfrac{5}{n^2}$일 때 $n=10^9$에서 $\dfrac{n a_n + 1}{a_n + 2n} = 4.999999979$, $a_n = 10 - \dfrac{3}{\sqrt{n}}$일 때 $n=10^{12}$에서 $4.9999984\cdots$로 모두 $5$에 수렴했고, 조건식 값도 $6$으로 수렴함을 동시에 확인했어요.
답
$5$ — 선택지 ⑤
확인해보기
2단계에서 분자·분모를 $n$으로 나눈 뒤 $\dfrac{a_n}{n}$이 $0$으로 수렴한다고 말할 수 있는 이유를 스스로 설명해 볼까요?