반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 정적분을 이용해 입체도형의 부피를 구하는 문제입니다.
이 문제는 입체도형을 칼로 슥슥 썰었을 때 생기는 '단면'들을 차곡차곡 쌓아서 전체 부피를 구하는 원리를 담고 있어요. 어렵게 느껴질 수 있지만, 단계별로 차근차근 풀다 보면 "아하!" 하고 이해하게 될 것입니다. 준비되었나요? 시작해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선 아래의 영역을 밑면으로 하고, $x$축에 수직인 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피를 알려주고, 식 속의 미지수 $k$를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 입체도형의 부피와 정적분: 어떤 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $S(x)$라고 할 때, $x=a$부터 $x=b$까지의 부피 $V$는 단면의 넓이를 쫙 더한(적분한) 값입니다. 즉, $V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx$ 입니다.
- 정사각형의 넓이: 한 변의 길이가 $l$인 정사각형의 넓이는 $l^2$입니다.
- 치환적분법: 분모의 미분 형태가 분자에 곱해져 있는 분수 함수를 적분할 때 사용하는 유용한 도구입니다.
단계별 풀이
1단계: $x$ 지점에서의 단면의 넓이 $S(x)$ 구하기
입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 나오는 단면은 정사각형이라고 했습니다.
이 정사각형의 한 변의 길이는 $x$ 위치에서의 곡선의 $y$값과 같습니다.
따라서 한 변의 길이 $l$은 다음과 같습니다.
$$l = y = \sqrt{\frac{kx}{2x^2 + 1}}$$
정사각형의 넓이 $S(x)$는 한 변의 길이를 제곱한 것이므로, 루트($\sqrt{\quad}$)만 벗겨내면 됩니다.
$$S(x) = l^2 = \left(\sqrt{\frac{kx}{2x^2 + 1}}\right)^2 = \frac{kx}{2x^2 + 1}$$
2단계: 부피를 구하는 정적분 식 세우기
도형이 $x=1$부터 $x=2$까지 존재하므로, 부피 $V$는 $S(x)$를 $1$부터 $2$까지 적분한 값입니다.
$$V = \int_{1}^{2} S(x) \, dx = \int_{1}^{2} \frac{kx}{2x^2 + 1} \, dx$$
이 부피의 값이 문제에서 $2\ln 3$이라고 주어졌습니다. 즉, 아래의 방정식을 풀면 됩니다.
$$\int_{1}^{2} \frac{kx}{2x^2 + 1} \, dx = 2\ln 3$$
3단계: 치환적분을 이용해 정적분 계산하기
이제 이 적분을 계산해 봅시다. 분모에 $2x^2 + 1$이 있고, 분자에 $x$가 있네요. 분모를 미분하면 $4x$가 되므로, 치환적분법을 쓰기에 아주 딱 좋은 형태입니다!
$2x^2 + 1 = u$ 로 치환해 봅시다.
양변을 $x$에 대해 미분하면,
$$4x \, dx = du \implies x \, dx = \frac{1}{4} \, du$$
적분 구간도 $x$에서 $u$로 바꾸어 줍니다.
- $x = 1$ 일 때, $u = 2(1)^2 + 1 = 3$
- $x = 2$ 일 때, $u = 2(2)^2 + 1 = 9$
이제 식을 $u$에 대한 식으로 다시 써봅시다.
$$V = \int_{1}^{2} \frac{kx}{2x^2 + 1} \, dx = \int_{3}^{9} \frac{k}{u} \cdot \left(\frac{1}{4} \, du\right)$$
상수들을 앞으로 빼내어 정리하면 다음과 같습니다.
$$V = \frac{k}{4} \int_{3}^{9} \frac{1}{u} \, du$$
$\frac{1}{u}$의 부정적분은 $\ln |u|$ 이므로,
$$V = \frac{k}{4} \Big[ \ln|u| \Big]_{3}^{9} = \frac{k}{4} (\ln 9 - \ln 3)$$
로그의 성질($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$)을 이용해 정리하면,
$$V = \frac{k}{4} \ln\left(\frac{9}{3}\right) = \frac{k}{4} \ln 3$$
4단계: $k$의 값 구하기
우리가 구한 부피 $V = \frac{k}{4} \ln 3$이 문제에서 제시한 $2\ln 3$과 같아야 합니다.
$$\frac{k}{4} \ln 3 = 2\ln 3$$
양변을 $\ln 3$으로 나누면 (단, $\ln 3 \neq 0$),
$$\frac{k}{4} = 2$$
따라서 양변에 $4$를 곱하면,
$$k = 8$$
답
정답은 **③ $8$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
질문: 만약 이 문제에서 "단면이 모두 정사각형"이 아니라, **"단면이 모두 $x$축에 수직인 반원(지름이 곡선의 높이 $y$인 반원)"**이었다면, 단면의 넓이 식 $S(x)$는 어떻게 변할까요? 식을 한번 세워보세요. (답은 직접 구해보며 고민해 보세요!)