어떤 문제인가
이 문제는 매 단계마다 일정한 비율로 작아지는 도형을 계속해서 더해나갈 때, 그 넓이의 총합(극한값)을 구하는 무한등비급수의 도형 응용 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 무한등비급수의 합 공식: 첫째항이 $a$이고 공비가 $r$ ($|r| < 1$)인 무한등비급수의 합은 $S = \frac{a}{1-r}$입니다.
- 피타고라스 정리: 직사각형의 대각선 길이와 직각삼각형의 넓이를 구하는 데 사용합니다.
- 닮음비와 넓이비의 관계: 두 닮은 도형의 닮음비가 $m : n$이면, 넓이비는 $m^2 : n^2$이 됩니다. 이 성질을 이용해 공비 $r$을 쉽게 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 도형의 넓이 $S_1$ (첫째항 $a$) 구하기
색칠된 첫 번째 도형 $R_1$은 두 개의 직각이등변삼각형 $\triangle \text{A}_2\text{D}_1\text{E}_1$과 $\triangle \text{B}_2\text{C}_1\text{E}_1$로 이루어져 있습니다. 두 삼각형은 크기와 모양이 같은 합동이므로, 하나의 넓이를 구해 2배를 해주면 됩니다.
먼저, 직사각형 $\text{A}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$에서 대각선의 교점을 $\text{E}_1$이라 했습니다.
직사각형의 가로 길이는 $4$, 세로 길이는 $1$이므로 피타고라스 정리에 의해 대각선 $\text{B}_1\text{D}_1$의 길이는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{B}_1\text{D}_1} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$$
점 $\text{E}_1$은 대각선의 중점이므로, 선분 $\text{D}_1\text{E}_1$의 길이는 대각선 길이의 절반입니다.
$$\overline{\text{D}_1\text{E}_1} = \frac{\sqrt{17}}{2}$$
삼각형 $\triangle \text{A}_2\text{D}_1\text{E}_1$은 $\overline{\text{A}_2\text{D}_1} = \overline{\text{D}_1\text{E}_1}$이고 $\angle\text{A}_2\text{D}_1\text{E}_1 = \frac{\pi}{2}(90^\circ)$인 직각이등변삼각형입니다. 따라서 이 삼각형의 넓이는 다음과 같습니다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \overline{\text{D}_1\text{E}_1} \times \overline{\text{A}_2\text{D}_1} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{17}{4} = \frac{17}{8}$$
두 삼각형은 서로 겹치는 부분 없이 점 $\text{E}_1$에서만 만나므로, 첫 번째 색칠된 도형의 총 넓이 $S_1$은 이 삼각형 넓이의 2배입니다.
$$S_1 = 2 \times \frac{17}{8} = \frac{17}{4}$$
2단계: 닮음비와 공비 $r$ 구하기
두 번째 단계에서 그려지는 직사각형 $\text{A}_2\text{B}_2\text{C}_2\text{D}_2$와 첫 번째 직사각형 $\text{A}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$의 닮음비를 구해야 합니다. 이를 위해 선분 $\text{A}_2\text{B}_2$의 길이를 구해봅시다.
좌표평면을 도입하면 길이를 아주 쉽게 구할 수 있습니다.
점 $\text{D}_1$을 원점 $(0,0)$으로 잡으면 각 점의 좌표는 다음과 같습니다.
- $\text{D}_1 = (0,0)$
- $\text{C}_1 = (4,0)$
- $\text{B}_1 = (4,1)$
- $\text{A}_1 = (0,1)$
- 대각선의 교점 $\text{E}_1 = \left(2, \frac{1}{2}\right)$
이제 점 $\text{A}_2$의 좌표를 구해봅시다.
선분 $\text{D}_1\text{E}_1$을 원점 $\text{D}_1(0,0)$을 기준으로 시계 방향으로 $90^\circ$ 회전이동 시키면 선분 $\text{D}_1\text{A}_2$가 됩니다. (반시계 방향으로 회전하면 $\text{A}_2$가 제2사분면에 위치하게 되어 선분 $\text{D}_1\text{C}_1$과 선분 $\text{A}_2\text{E}_1$이 만나지 못하므로, 조건에 따라 시계 방향 회전이 맞습니다.)
좌표 $(x, y)$를 원점 기준으로 시계 방향으로 $90^\circ$ 회전이동한 좌표는 $(y, -x)$가 됩니다.
따라서 $\text{E}_1\left(2, \frac{1}{2}\right)$을 회전시킨 점 $\text{A}_2$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{A}_2 = \left(\frac{1}{2}, -2\right)$$
마찬가지로 점 $\text{B}_2$는 점 $\text{E}_1\left(2, \frac{1}{2}\right)$을 $\text{C}_1(4,0)$을 기준으로 반시계 방향으로 $90^\circ$ 회전이동한 점입니다.
이를 계산하면 점 $\text{B}_2$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{B}_2 = \left(\frac{7}{2}, -2\right)$$
이제 두 점 $\text{A}_2$와 $\text{B}_2$ 사이의 거리(새로운 직사각형의 가로 길이)를 구합니다. 두 점의 $y$좌표가 $-2$로 같으므로, $x$좌표의 차이가 곧 거리가 됩니다.
$$\overline{\text{A}_2\text{B}_2} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = 3$$
원래 직사각형의 가로 길이는 $\overline{\text{A}_1\text{B}_1} = 4$였고, 새로 만들어진 직사각형의 가로 길이는 $\overline{\text{A}_2\text{B}_2} = 3$이므로, 두 직사각형의 닮음비 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = \frac{3}{4}$$
넓이비(공비 $r$)는 닮음비의 제곱이므로 다음과 같습니다.
$$r = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$$
3단계: 무한등비급수 공식 적용하기
구한 첫째항 $a = S_1 = \frac{17}{4}$과 공비 $r = \frac{9}{16}$를 무한등비급수 공식에 대입합니다.
$$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{17}{4}}{1 - \frac{9}{16}}$$
분모를 계산하면,
$$1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$
따라서 식을 정리하면,
$$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{\frac{17}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{17}{4} \times \frac{16}{7} = \frac{17 \times 4}{7} = \frac{68}{7}$$
답
**③ $\frac{68}{7}$**
확인해보기
질문: 닮음비가 $k$일 때, 왜 부피비는 $k^3$이 되고 넓이비는 $k^2$이 되는지 가로, 세로, 높이의 변화를 생각하며 스스로 설명해 보세요.