안녕! 오늘 함께 풀어볼 문제는 삼각함수의 극한을 도형에 적용하는 아주 재미있고 대표적인 수능형 문제야. 도형의 성질을 하나씩 발견해 나가는 재미가 있으니, 선생님과 함께 차근차근 단계별로 정복해 보자!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 도형에서 각도 $\theta$가 $0$에 한없이 가까워질 때, 두 삼각형의 넓이 비율이 어떻게 되는지 극한값을 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같아요:
- 이등변삼각형의 성질: 두 변의 길이가 같으면 두 밑각의 크기도 같습니다.
- 원주각과 중심각의 관계: 한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각 크기의 반입니다.
- 삼각함수의 극한 기본 공식: $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
단계별 풀이
1단계: 기본 선분의 길이와 각도 표시하기
먼저 주어진 조건들을 이용해 필요한 선분의 길이와 각도를 구해봅시다.
- 부채꼴의 반지름의 길이는 $1$이므로 $OA = OP = 1$입니다.
- 삼각형 $OPA$는 $OA = OP = 1$인 이등변삼각형입니다. 꼭지각이 $\angle POA = \theta$이므로, 밑각의 크기는 다음과 같습니다.
$$\angle PAO = \angle OPA = \frac{\pi - \theta}{2}$$
- 이등변삼각형 $OPA$에서 수선을 내려서 밑변 $PA$의 길이를 구하면 다음과 같습니다.
$$\overline{PA} = 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
- 문제에서 $\overline{PA} = \overline{PC} = \overline{PD}$라고 했으므로, 이 길이를 편의상 $l$이라 합시다.
$$l = 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
2단계: 삼각형 $CDP$의 넓이 $f(\theta)$ 구하기
삼각형 $CDP$는 두 변의 길이가 $\overline{PC} = \overline{PD} = l$로 같은 이등변삼각형입니다. 이 삼각형의 넓이를 구하기 위해 끼인각인 $\angle CPD$의 크기를 구해봅시다.
- 원주각 성질 이용하기:
점 $A, P, C$는 모두 반지름이 $1$인 원 위의 점입니다. 호 $AC$에 대한 중심각은 $\angle AOC = \angle AOP + \angle POC$입니다.
이때 $\overline{PC} = \overline{PA}$이므로 현의 길이가 같아 중심각의 크기도 같습니다. 즉, $\angle POC = \angle POA = \theta$입니다.
따라서 중심각 $\angle AOC = 2\theta$가 됩니다.
원주각의 성질에 의해, 호 $AC$의 반대편에 있는 원주각 $\angle CPA$는 다음과 같습니다.
$$\angle CPA = \pi - \frac{1}{2}\angle AOC = \pi - \theta$$
- **삼각형 $PDA$ 분석하기**:
$\overline{PD} = \overline{PA}$이므로 삼각형 $PDA$는 이등변삼각형입니다.
밑각인 $\angle PAD = \angle PAO = \frac{\pi - \theta}{2}$이므로, 꼭지각 $\angle APD$는 다음과 같습니다.
$$\angle APD = \pi - 2 \times \left(\frac{\pi - \theta}{2}\right) = \theta$$
- **끼인각 $\angle CPD$ 구하기**:
$$\angle CPD = \angle CPA - \angle APD = (\pi - \theta) - \theta = \pi - 2\theta$$
- **넓이 $f(\theta)$ 계산**:
두 변의 길이 $l$과 끼인각을 알았으니 넓이 공식을 씁니다.
$$f(\theta) = \frac{1}{2} \times \overline{PC} \times \overline{PD} \times \sin(\angle CPD)$$
$$f(\theta) = \frac{1}{2} \times l^2 \times \sin(\pi - 2\theta) = \frac{1}{2} \times \left(2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^2 \times \sin 2\theta$$
$$f(\theta) = 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin 2\theta$$
3단계: 삼각형 $EDA$의 넓이 $g(\theta)$ 구하기
이제 삼각형 $EDA$의 넓이를 구해봅시다. 먼저 이 삼각형의 각도들을 살펴볼게요.
- 평행선의 성질 이용하기:
선분 $DE$와 $OP$가 평행하므로, 동위각의 크기가 같습니다.
$$\angle EDA = \angle POA = \theta$$
- **삼각형 $EDA$의 각도 구하기**:
* $\angle EAD = \angle PAO = \frac{\pi - \theta}{2}$
* 삼각형 세 각의 합은 $\pi$이므로, 남은 각 $\angle DEA$는 다음과 같습니다.
$$\angle DEA = \pi - \angle EDA - \angle EAD = \pi - \theta - \frac{\pi - \theta}{2} = \frac{\pi - \theta}{2}$$
- 이등변삼각형 발견하기:
$\angle DEA = \angle EAD = \frac{\pi - \theta}{2}$로 두 각의 크기가 같으므로, 삼각형 $EDA$는 $\overline{ED} = \overline{DA}$인 이등변삼각형입니다!
- 변의 길이 구하기:
이등변삼각형 $PDA$에서 밑변 $DA$의 길이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$\overline{DA} = 2 \times \overline{PA} \times \cos\left(\frac{\pi - \theta}{2}\right) = 2 \times 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \times \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$$
따라서 $\overline{ED} = \overline{DA} = 4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)$입니다.
- **넓이 $g(\theta)$ 계산**:
$$g(\theta) = \frac{1}{2} \times \overline{ED} \times \overline{DA} \times \sin(\angle EDA)$$
$$g(\theta) = \frac{1}{2} \times \left(4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^2 \times \sin\theta = 8\sin^4\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\theta$$
4단계: 극한값 계산하기
이제 구한 $f(\theta)$와 $g(\theta)$를 극한 식에 대입하여 계산해 봅시다.
$$\lim_{\theta\to 0+} \frac{g(\theta)}{\theta^2 \times f(\theta)} = \lim_{\theta\to 0+} \frac{8\sin^4\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\theta}{\theta^2 \times 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin 2\theta}$$
분모와 분자를 약분하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$= \lim_{\theta\to 0+} \frac{4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\sin\theta}{\theta^2 \sin 2\theta}$$
우리가 잘 아는 삼각함수의 극한 공식 형태를 만들기 위해 식을 변형해 줍니다.
$$= \lim_{\theta\to 0+} \left[ \left(\frac{\sin(\theta/2)}{\theta/2}\right)^2 \times \frac{\sin\theta}{\theta} \times \frac{2\theta}{\sin 2\theta} \times \frac{4 \times \frac{\theta^2}{4} \times \theta}{\theta^2 \times 2\theta} \right]$$
여기서 $\theta \to 0+$일 때 각 삼각함수 극한 항들은 모두 $1$로 수렴합니다.
- $\lim_{\theta\to 0+} \frac{\sin(\theta/2)}{\theta/2} = 1$
- $\lim_{\theta\to 0+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$
- $\lim_{\theta\to 0+} \frac{2\theta}{\sin 2\theta} = 1$
남은 상수 부분만 계산해 주면 됩니다.
$$= 1^2 \times 1 \times 1 \times \frac{4 \times \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{2}$$
답
정답은 **④ $\frac{1}{2}$** 입니다.
확인해보기
이 문제에서 삼각형 $EDA$가 이등변삼각형($\overline{ED} = \overline{DA}$)이 된다는 사실을 밝혀내는 것이 풀이의 핵심 중 하나였습니다. **삼각형 $EDA$가 이등변삼각형이 될 수 있었던 이유를 평행선의 성질과 삼각형의 내각의 합을 이용하여 스스로 설명해 보세요.**