어떤 문제인가
이 문제는 곡선 위의 점과 곡선 밖에 있는 점 사이의 거리가 최소가 되는 조건을 기하학적으로 이해하고, 이를 바탕으로 정의된 함수의 합성함수 미분법과 역함수의 미분법을 유기적으로 연결하여 해결하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 최단 거리와 수직 조건 (법선): 곡선 밖의 한 점에서 곡선 위의 점까지의 거리가 최소가 될 때, 두 점을 이은 직선은 그 접점에서의 접선과 수직을 이룹니다.
- 매개변수와 음함수의 미분법: 서로 연관되어 변하는 두 변수 $t$와 $s$의 관계식을 미분하는 방법입니다.
- 역함수의 미분법: $h(t) = g^{-1}(t)$일 때, $h'(a) = \frac{1}{g'(b)}$ (단, $g(b) = a$) 관계를 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 거리가 최소가 되는 기하학적 조건 이해하기
점 $A(t, 0)$과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P(x, f(x))$ 사이의 거리가 $x=s$에서 최소라고 했습니다.
곡선 위의 점 $P(s, f(s))$에서 거리가 최소가 되려면, 점 $A(t, 0)$와 점 $P(s, f(s))$를 연결한 직선의 기울기가 점 $P$에서의 접선의 기울기 $f'(s)$와 수직이어야 합니다.
- 접선의 기울기: $f'(s)$
- 두 점을 이은 직선의 기울기: $\frac{f(s) - 0}{s - t}$
두 직선이 수직이므로 두 기울기의 곱은 $-1$입니다.
$$\frac{f(s)}{s - t} \cdot f'(s) = -1$$
이 식을 정리하여 $t$에 대한 식으로 나타내어 봅시다.
$$f(s)f'(s) = -(s - t) = t - s$$
$$t = s + f(s)f'(s) \quad \cdots \text{(식 1)}$$
이 식은 양수 $t$와 그때 거리를 최소로 만드는 $s$ 사이의 관계를 보여줍니다.
2단계: 함수 $g(t)$ 정의하기
문제에서 실수 $f(s)$의 값을 $g(t)$라 하자고 했습니다. 즉,
$$g(t) = f(s)$$
입니다. 이때 $s$는 $t$에 따라 결정되는 변수이므로, $g(t)$는 $s$에 대한 함수 $f(s)$에 $s(t)$가 합성된 합성함수로 볼 수 있습니다.
우리가 구해야 하는 것은 $g(t)$의 역함수인 $h(t)$의 미분계수 $h'(1)$입니다. 역함수의 미분 공식에 의해 다음이 성립합니다.
$$h'(1) = \frac{1}{g'(t_0)} \quad (\text{단, } g(t_0) = 1)$$
3단계: $g(t_0) = 1$을 만족하는 $t_0$와 그때의 $s_0$ 구하기
먼저 $g(t_0) = 1$이 되는 상황을 분석해 봅시다.
$$g(t_0) = f(s_0) = 1$$
함수 $f(x) = e^x + x$이므로, $f(s_0) = e^{s_0} + s_0 = 1$이 되는 $s_0$를 찾습니다.
$s_0 = 0$을 대입하면 $e^0 + 0 = 1$이 되므로, **$s_0 = 0$**임을 알 수 있습니다.
이제 (식 1)을 이용하여 $s_0 = 0$일 때의 $t_0$ 값을 구합니다.
$$t_0 = s_0 + f(s_0)f'(s_0)$$
$f'(x) = e^x + 1$이므로, 필요한 값들을 계산해 보면:
- $f(0) = 1$
- $f'(0) = e^0 + 1 = 2$
따라서,
$$t_0 = 0 + 1 \cdot 2 = 2$$
즉, $g(2) = 1$이므로 우리가 구하고자 하는 값은 **$h'(1) = \frac{1}{g'(2)}$**입니다.
4단계: $g'(t)$ 구하기 (합성함수 미분)
$g(t) = f(s)$의 양변을 변수 $t$에 대해 미분해 봅시다. 우변은 $s$에 대한 식이고 $s$는 $t$의 함수이므로 연쇄법칙(Chain Rule)을 적용합니다.
$$g'(t) = \frac{d}{dt}[f(s)] = f'(s) \cdot \frac{ds}{dt} \quad \cdots \text{(식 2)}$$
$\frac{ds}{dt}$를 구하기 위해, (식 1) $t = s + f(s)f'(s)$의 양변을 $t$에 대해 미분합니다.
$$1 = \frac{ds}{dt} + \left( f'(s) \cdot f'(s) + f(s) \cdot f''(s) \right) \frac{ds}{dt}$$
$$1 = \left[ 1 + \{f'(s)\}^2 + f(s)f''(s) \right] \frac{ds}{dt}$$
따라서,
$$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{1 + \{f'(s)\}^2 + f(s)f''(s)}$$
이를 (식 2)에 대입하면 $g'(t)$를 $s$에 대한 식으로 나타낼 수 있습니다.
$$g'(t) = \frac{f'(s)}{1 + \{f'(s)\}^2 + f(s)f''(s)}$$
5단계: $g'(2)$ 계산하고 최종 답 구하기
우리는 $t_0 = 2$일 때 $s_0 = 0$임을 알고 있습니다. 이 값을 $g'(t)$ 식에 대입합니다.
먼저 이계도함수 $f''(x)$를 구하면, $f'(x) = e^x + 1$이므로 $f''(x) = e^x$입니다.
$s = 0$일 때의 값들을 정리해 봅시다:
- $f(0) = 1$
- $f'(0) = 2$
- $f''(0) = e^0 = 1$
이 값들을 $g'(2)$에 대입합니다.
$$g'(2) = \frac{f'(0)}{1 + \{f'(0)\}^2 + f(0)f''(0)} = \frac{2}{1 + 2^2 + 1 \cdot 1} = \frac{2}{1 + 4 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
따라서 구하고자 하는 역함수의 미분계수는 다음과 같습니다.
$$h'(1) = \frac{1}{g'(2)} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$$
답
$$3$$
확인해보기
점 $(t, 0)$에서 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(s, f(s))$까지의 거리가 최소일 때, "두 점을 연결한 선분과 그 점에서의 접선이 서로 수직이다"라는 성질을 이용했습니다.
그렇다면, 왜 거리가 최소가 되는 순간에 두 직선이 수직이 되어야 하는지 거리의 제곱 식 $D(x) = (x-t)^2 + \{f(x)\}^2$을 미분하는 관점에서 스스로 설명해 보세요.