안녕! 오늘도 수학 실력을 한 단계 더 높이기 위해 도전하는 모습이 아주 멋져요.
이 문제는 사차함수의 그래프 성질을 파악하는 미분 개념과, 복잡해 보이는 식을 간단하게 해결하는 치환적분 개념이 아주 아름답게 융합된 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 선생님과 함께 한 단계씩 풀어가면 충분히 스스로 이해할 수 있어요. 자, 시작해 볼까요?
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 가지 조건 (가)와 (나)를 해석하여 **사차함수 $f(x)$의 구체적인 식을 찾아내고, 이를 이용해 함수 $g(x)$의 정적분 값을 구하는 문제**입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 도함수의 부호와 함수의 증가·감소: $f'(x) \ge 0$이면 함수가 증가하고, $f'(x) \le 0$이면 감소합니다.
- 사차함수의 그래프 개형: 극값과 접선의 기울기가 $0$인 지점의 특징을 이해해야 합니다.
- 치환적분법: $\int \frac{f'(x)}{\{f(x)\}^2} dx$ 꼴의 적분을 치환을 통해 간단히 계산하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)와 (나)를 통해 $f'(x)$의 부호 파악하기
먼저 조건 (나)의 식을 가만히 살펴봅시다.
$$g(x+3)\{f(x)-f(0)\}^2 = f'(x) \quad (x > -3)$$
- 문제에서 구간 $(0, \infty)$에서 $g(x) \ge 0$이라고 했습니다. 따라서 $x > -3$일 때, $x+3 > 0$이므로 $g(x+3) \ge 0$입니다.
- 실수의 제곱인 $\{f(x)-f(0)\}^2$은 항상 $0$ 이상입니다.
- 따라서 좌변은 항상 $0$ 이상이므로, 우변인 **$f'(x)$도 $x > -3$인 모든 실수 $x$에 대해 $f'(x) \ge 0$**이어야 합니다.
이제 조건 (가)를 봅시다.
- $x \le -3$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge f(-3)$입니다.
- 이것은 $x = -3$에서 함수 $f(x)$가 최솟값(또는 극솟값)을 가진다는 뜻입니다. 즉, $x \le -3$에서는 함수가 감소하거나 멈추어 있어야 하므로 $f'(-3) = 0$입니다.
2단계: $f'(x)$의 구체적인 식 추론하기
조건 (나)의 식에 $x = 0$을 대입해 봅시다. ($0 > -3$이므로 대입할 수 있습니다.)
$$g(3)\{f(0)-f(0)\}^2 = f'(0) \implies g(3) \times 0 = f'(0) \implies f'(0) = 0$$
우리는 $f'(x)$에 대해 두 가지 사실을 알았습니다.
- $f'(-3) = 0$이고, $f'(0) = 0$이다.
- $x > -3$인 모든 영역에서 $f'(x) \ge 0$이다.
$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이므로, 도함수 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $4$인 삼차함수입니다.
그런데 $f'(x)$가 $x > -3$에서 항상 $0$ 이상이면서 $x=0$에서 $0$이 되려면, **$x=0$은 통과하는 근이 아니라 접하는 근(중근)**이어야 합니다. (만약 $x=0$을 통과하면 $x$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 바뀌어 음수가 되는 구간이 생기기 때문입니다.)
따라서 $f'(x)$는 $x^2$을 인수로 가져야 하므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$f'(x) = 4x^2(x+3) = 4x^3 + 12x^2$$
3단계: $f(x) - f(0)$ 구하기
이제 $f'(x)$를 적분하여 $f(x) - f(0)$을 구해봅시다.
$$f(x) = \int (4x^3 + 12x^2) dx = x^4 + 4x^3 + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
여기서 $f(0) = C$이므로, 우리가 원하는 식은 다음과 같습니다.
$$f(x) - f(0) = x^4 + 4x^3 = x^3(x+4)$$
4단계: 구하고자 하는 정적분 계산하기 (치환적분)
우리가 구해야 하는 값은 $\int_{4}^{5} g(x)dx$입니다.
조건 (나)의 식을 $g(x+3)$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.
$$g(x+3) = \frac{f'(x)}{\{f(x)-f(0)\}^2}$$
우리가 구하려는 적분식에서 $x = t+3$으로 치환해 봅시다. ($dx = dt$)
- $x = 4$일 때 $t = 1$
- $x = 5$일 때 $t = 2$
따라서 구하고자 하는 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\int_{4}^{5} g(x)dx = \int_{1}^{2} g(t+3)dt = \int_{1}^{2} \frac{f'(t)}{\{f(t)-f(0)\}^2} dt$$
이 식은 치환적분을 하기에 아주 완벽한 형태입니다!
$u = f(t) - f(0)$로 치환하면, $du = f'(t)dt$가 됩니다.
$$\int \frac{f'(t)}{\{f(t)-f(0)\}^2} dt = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{f(t)-f(0)}$$
따라서 정적분 값은 다음과 같습니다.
$$\left[ -\frac{1}{f(t)-f(0)} \right]_{1}^{2} = \left( -\frac{1}{f(2)-f(0)} \right) - \left( -\frac{1}{f(1)-f(0)} \right)$$
3단계에서 구한 $f(t) - f(0) = t^3(t+4)$에 값을 대입해 봅시다.
- $t = 2$일 때: $f(2) - f(0) = 2^3(2+4) = 8 \times 6 = 48$
- $t = 1$일 때: $f(1) - f(0) = 1^3(1+4) = 5$
이를 계산하면,
$$\left( -\frac{1}{48} \right) - \left( -\frac{1}{5} \right) = \frac{1}{5} - \frac{1}{48} = \frac{48 - 5}{240} = \frac{43}{240}$$
$43$은 소수이고 $240$과 서로소이므로, $p = 240$, $q = 43$입니다.
답
$$p + q = 240 + 43 = 283$$
확인해보기
오늘 배운 치환적분 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문:
함수 $h(x)$와 그 도함수 $h'(x)$에 대하여, 다음 부정적분을 구하는 과정을 설명하고 결과를 적어보세요. (단, $h(x) \neq 0$)
$$\int \frac{h'(x)}{\{h(x)\}^3} dx$$