어떤 문제인가
이 문제는 지수에 무리수가 포함된 식을 간단히 정리하여 값을 구하는 문제입니다. 복잡해 보이지만, 우리가 이미 배운 지수법칙과 곱셈 공식을 차근차근 적용하면 쉽게 풀 수 있어요.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 지수의 나눗셈 법칙: 밑이 같을 때, 나누기는 지수끼리의 뺄셈이 됩니다. ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$)
- 지수의 거듭제곱 법칙: 거듭제곱의 거듭제곱은 지수끼리 곱합니다. ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$)
- 합차 공식 (곱셈 공식): $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
단계별 풀이
1단계: 괄호 안의 식 정리하기
먼저 괄호 안에 있는 분수식 $\frac{2^{\sqrt{3}}}{2}$을 간단히 만들어 봅시다.
분모에 있는 $2$는 사실 지수가 $1$인 $2^1$과 같습니다. 밑이 $2$로 서로 같으므로, 지수의 나눗셈 법칙을 적용해 지수끼리 빼줍니다.
$$\frac{2^{\sqrt{3}}}{2^1} = 2^{\sqrt{3}-1}$$
2단계: 전체 식에 지수법칙 적용하기
이제 1단계에서 구한 식을 원래 문제의 괄호 안에 대입해 봅시다.
$$\left( \frac{2^{\sqrt{3}}}{2} \right)^{\sqrt{3}+1} = \left( 2^{\sqrt{3}-1} \right)^{\sqrt{3}+1}$$
거듭제곱의 거듭제곱 형태이므로, 지수끼리 곱해줍니다.
$$2^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$$
3단계: 지수 부분 계산하기 (합차 공식)
지수에 있는 $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$을 계산해 봅시다. 이 모양은 곱셈 공식 중 합차 공식인 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$을 사용할 수 있는 형태입니다. 여기서 $a = \sqrt{3}$, $b = 1$로 생각하면 됩니다.
$$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$$
4단계: 최종 값 구하기
지수 자리에 방금 계산한 값 $2$를 넣어 최종 결과를 구합니다.
$$2^2 = 4$$
따라서 구하고자 하는 값은 $4$입니다.
답
**④ $4$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 식을 계산해 보세요. (답은 직접 구해보고 풀이 과정과 비교해 보세요!)
$$\left( \frac{3^{\sqrt{5}}}{3} \right)^{\sqrt{5}+1}$$