어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 속도를 이용하여 특정 시각에서의 위치를 구하고, 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 미지수 $a$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 속도와 위치의 관계: 속도 $v(t)$를 적분하면 위치의 변화량을 알 수 있습니다. 출발할 때의 위치(초기 위치)에 위치의 변화량을 더하면 현재 위치가 됩니다.
- 수직선 위의 두 점 사이의 거리: 수직선 위의 두 점 $x_1, x_2$ 사이의 거리는 두 값의 차에 절댓값을 씌운 $|x_1 - x_2|$로 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 시각 $t$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치 구하기
점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치를 $x(t)$라고 해봅시다.
점 $\mathrm{P}$는 시각 $t=0$일 때 원점(0)을 출발했다고 했으므로, 초기 위치는 $x(0) = 0$입니다.
위치는 속도를 적분하여 구할 수 있으므로, 식은 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$x(t) = x(0) + \int_{0}^{t} v(t) \, dt$$
여기에 문제에서 주어진 속도 $v(t) = 3t^2 + at$를 대입하여 적분해 봅시다.
$$x(t) = 0 + \int_{0}^{t} (3t^2 + at) \, dt$$
$$x(t) = \left[ t^3 + \frac{1}{2}at^2 \right]_{0}^{t} = t^3 + \frac{1}{2}at^2$$
2단계: 시각 $t=2$에서 점 $\mathrm{P}$의 위치 구하기
이제 우리가 궁금한 시각인 $t=2$를 위에서 구한 위치 식에 대입해 봅시다.
$$x(2) = 2^3 + \frac{1}{2}a(2)^2$$
$$x(2) = 8 + 2a$$
즉, 시각 $t=2$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $8 + 2a$입니다.
3단계: 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{A}$ 사이의 거리 조건 활용하기
점 $\mathrm{A}$의 위치는 문제에서 $6$이라고 주어졌습니다.
시각 $t=2$에서 두 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{A}$ 사이의 거리가 $10$이라고 했으므로, 두 위치의 차이에 절댓값을 씌운 값이 $10$이 되어야 합니다.
식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$|x(2) - 6| = 10$$
여기에 $x(2) = 8 + 2a$를 대입합니다.
$$|(8 + 2a) - 6| = 10$$
$$|2a + 2| = 10$$
4단계: 방정식 풀고 상수 $a$의 값 구하기
절댓값 기호를 벗겨내면 두 가지 경우가 가능합니다.
경우 1) $2a + 2 = 10$ 일 때
$$2a = 8 \implies a = 4$$
경우 2) $2a + 2 = -10$ 일 때
$$2a = -12 \implies a = -6$$
그런데 문제 조건에서 **$a > 0$**이라고 했으므로, 음수인 $a = -6$은 답이 될 수 없습니다.
따라서 구하고자 하는 상수의 값은 $a = 4$입니다.
답
정답은 **④ $4$** 입니다.
확인해보기
질문: 만약 점 $\mathrm{P}$가 시각 $t=0$일 때 원점이 아니라 **좌표 $3$**에서 출발했다면, 시각 $t=2$에서의 점 $\mathrm{P}$의 위치를 나타내는 식은 어떻게 변했을까요? 스스로 식을 세워보세요.