어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근의 성질과 이차방정식의 실근, 그리고 자연수 조건이 융합된 아주 좋은 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수와 성질: 양수의 짝수제곱근 중 실수인 것은 양수와 음수 두 개가 존재하며, 이 둘은 절댓값이 같고 부호가 반대입니다.
- 지수법칙: 거듭제곱근을 지수 형태로 바꾸어 방정식을 단순화합니다.
- 이차방정식의 자연수 해: 방정식의 해가 '자연수'가 되도록 하는 조건을 분석합니다.
단계별 풀이
1단계: "네제곱근 중 실수인 것"의 정체 밝히기
어떤 수 $A$의 네제곱근이란, 네제곱해서 $A$가 되는 수(즉, $x^4 = A$의 근)를 말합니다.
여기서 $A = \sqrt{3}^{f(n)}$입니다. 밑이 $\sqrt{3}$이므로 $A$는 항상 양수($A > 0$)입니다.
양수의 짝수(4)제곱근 중 실수인 것은 항상 양수 하나, 음수 하나로 총 2개가 존재합니다.
그 두 실수는 다음과 같습니다.
$$\sqrt[4]{A} \quad \text{와} \quad -\sqrt[4]{A}$$
2단계: 두 실수의 곱이 $-9$임을 이용해 식 세우기
문제 조건에서 이 두 실수를 모두 곱한 값이 $-9$라고 했습니다. 두 실수를 곱해봅시다.
$$(\sqrt[4]{A}) \times (-\sqrt[4]{A}) = -\sqrt{A}$$
이 값이 $-9$이므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$-\sqrt{A} = -9 \implies \sqrt{A} = 9 \implies A = 81$$
3단계: $f(n)$의 값 구하기
이제 $A = 81$을 원래 식 $A = \sqrt{3}^{f(n)}$에 대입하여 $f(n)$의 값을 구해봅시다.
$$\sqrt{3}^{f(n)} = 81$$
우변의 $81$은 $3^4$이고, 좌변의 $\sqrt{3}$은 $3^{\frac{1}{2}}$이므로 지수법칙을 사용해 밑을 $3$으로 통일합니다.
$$\left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{f(n)} = 3^4 \implies 3^{\frac{f(n)}{2}} = 3^4$$
밑이 같으므로 지수끼리 같아야 합니다.
$$\frac{f(n)}{2} = 4 \implies f(n) = 8$$
4단계: 자연수 $n$의 개수가 2개가 되도록 하는 $k$ 구하기
이제 함수 $f(x) = -(x-2)^2 + k$에 $x=n$을 대입하여 $f(n) = 8$을 만족하는 자연수 $n$의 개수가 2개가 되도록 하는 $k$를 찾아야 합니다.
$$-(n-2)^2 + k = 8$$
이 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$(n-2)^2 = k - 8$$
여기서 $n$은 자연수($1, 2, 3, \dots$)여야 합니다.
좌변 $(n-2)^2$은 완전제곱수이므로, 우변 $k-8$도 어떤 정수의 제곱 형태가 되어야 $n$이 정수(자연수)로 풀릴 수 있습니다.
$k-8 = d^2$ ($d$는 정수, $d \ge 0$)라고 해봅시다.
$$n-2 = \pm d \implies n = 2 \pm d$$
이때 $n$이 서로 다른 자연수 2개가 되려면 어떤 조건이 필요할까요?
- 만약 $d = 0$이면, $n = 2$로 해가 1개뿐입니다.
- 만약 $d = 1$이면, $n = 2 \pm 1$이므로 $n = 1$ 또는 $n = 3$입니다. 둘 다 자연수이므로 만족하는 $n$의 개수는 2개입니다.
- 만약 $d = 2$이면, $n = 2 \pm 2$이므로 $n = 0$ 또는 $n = 4$입니다. 하지만 $0$은 자연수가 아니므로 만족하는 자연수 $n$은 $4$ 하나뿐입니다.
- 만약 $d \ge 3$이면, $n = 2 - d$는 음수가 되므로 자연수 해는 $n = 2+d$ 하나뿐입니다.
따라서 만족하는 자연수 $n$의 개수가 오직 2개가 되려면 반드시 **$d = 1$**이어야 합니다.
즉, $k-8 = 1^2 = 1$이어야 하므로,
$$k = 9$$
가 됩니다.
답
**② $9$**
확인해보기
실수의 거듭제곱근 개념을 잘 이해했는지 확인해봅시다.
> 질문: 만약 어떤 실수 $B$에 대하여, "$B$의 세제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 $-8$이다"라고 한다면, 이때 $B$의 값은 무엇일까요? (힌트: 홀수제곱근 중 실수인 것의 개수를 생각해보세요.)