어떤 문제인가
이 문제는 주어진 기하학적 상황(교점, 수선의 발 등)을 **변수 $t$에 대한 식**으로 나타낸 후, $t$가 $0$으로 갈 때의 극한값을 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 이차방정식의 근과 계수의 관계 (또는 근의 공식): 직선과 곡선의 교점의 $x$좌표를 구하기 위해 사용합니다.
- 대칭성을 이용한 좌표 설정: 포물선 $y=x^2$의 $y$축 대칭 성질을 이용해 점 $\text{C}$의 좌표를 쉽게 구합니다.
- **무한소 분의 무한소($\frac{0}{0}$) 꼴의 극한 계산**: 분자를 유리화하여 극한값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 교점 $\text{A}$와 $\text{B}$의 $x$좌표 설정하기
직선 $y = x + t$와 곡선 $y = x^2$이 만나는 점의 $x$좌표를 구하기 위해 두 식을 연립해 봅시다.
$$x^2 = x + t \implies x^2 - x - t = 0$$
이 이차방정식의 두 실근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$)라고 합시다.
문제에서 점 $\text{A}$의 $x$좌표가 양수라고 했으므로, 점 $\text{A}$의 $x$좌표는 $\alpha$, 점 $\text{B}$의 $x$좌표는 $\beta$가 됩니다.
($t > 0$이므로 두 근의 곱은 $-t < 0$이 되어, 반드시 양의 실근 하나와 음의 실근 하나를 갖습니다. 즉, $\alpha > 0, \beta < 0$입니다.)
따라서 두 점의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{A}(\alpha, \alpha^2), \quad \text{B}(\beta, \beta^2)$$
이때, 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
$$\alpha + \beta = 1$$
$$\alpha\beta = -t$$
2단계: 점 $\text{C}$와 점 $\text{H}$의 좌표 구하기
이제 문제의 조건에 따라 점 $\text{C}$와 점 $\text{H}$의 좌표를 $\alpha$와 $\beta$로 표현해 봅시다.
- **점 $\text{C}$ 구하기**:
점 $\text{C}$는 점 $\text{A}(\alpha, \alpha^2)$를 지나고 $x$축에 평행한 직선($y = \alpha^2$)이 곡선 $y = x^2$과 만나는 점입니다.
포물선은 $y$축에 대해 대칭이므로, $y$좌표가 $\alpha^2$으로 같은 또 다른 점의 $x$좌표는 $-\alpha$가 됩니다.
따라서, $\text{C}(-\alpha, \alpha^2)$입니다.
- **점 $\text{H}$ 구하기**:
점 $\text{H}$는 점 $\text{B}(\beta, \beta^2)$에서 선분 $\text{AC}$에 내린 수선의 발입니다.
선분 $\text{AC}$는 $y = \alpha^2$이라는 가로선(수평선)이므로, $\text{B}$에서 내린 수선은 세로선(수직선)이 됩니다.
따라서 점 $\text{H}$의 $x$좌표는 점 $\text{B}$와 같고, $y$좌표는 선분 $\text{AC}$ 위에 있으므로 점 $\text{A}$와 같습니다.
따라서, $\text{H}(\beta, \alpha^2)$입니다.
3단계: 선분의 길이 $\overline{\text{AH}}$와 $\overline{\text{CH}}$를 구하고 식 단순화하기
세 점 $\text{A}, \text{C}, \text{H}$는 모두 $y = \alpha^2$이라는 일직선 위에 있습니다. 이 점들의 $x$좌표 크기를 비교해 봅시다.
- $\text{C}$의 $x$좌표: $-\alpha$
- $\text{H}$의 $x$좌표: $\beta$
- $\text{A}$의 $x$좌표: $\alpha$
1단계에서 구한 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = 1$이므로, $\beta = 1 - \alpha$입니다.
$\alpha > 0$이므로, $-\alpha < 1 - \alpha$가 성립하여 $-\alpha < \beta$가 됩니다.
또한 $\beta < 0 < \alpha$이므로, 세 $x$좌표의 대소 관계는 다음과 같습니다.
$$-\alpha < \beta < \alpha$$
따라서 선분의 길이는 오른쪽 좌표에서 왼쪽 좌표를 빼서 구할 수 있습니다.
$$\overline{\text{AH}} = \alpha - \beta$$
$$\overline{\text{CH}} = \beta - (-\alpha) = \alpha + \beta$$
우리가 구하고자 하는 분자 식 $\overline{\text{AH}} - \overline{\text{CH}}$를 계산해 보면 아주 간단해집니다!
$$\overline{\text{AH}} - \overline{\text{CH}} = (\alpha - \beta) - (\alpha + \beta) = -2\beta$$
4단계: $\beta$를 $t$에 대한 식으로 나타내고 극한값 구하기
이제 $\beta$를 $t$에 대한 식으로 나타내기 위해, 1단계의 이차방정식 $x^2 - x - t = 0$에 근의 공식을 적용합니다.
$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4t}}{2}$$
이 중 음의 실근이 $\beta$이므로,
$$\beta = \frac{1 - \sqrt{1 + 4t}}{2}$$
입니다.
따라서 구하고자 하는 분자 식은 다음과 같습니다.
$$-2\beta = -(1 - \sqrt{1 + 4t}) = \sqrt{1 + 4t} - 1$$
이제 최종 극한값을 구해봅시다.
$$\lim_{t \to 0+} \frac{\overline{\text{AH}} - \overline{\text{CH}}}{t} = \lim_{t \to 0+} \frac{\sqrt{1 + 4t} - 1}{t}$$
분자를 유리화하기 위해 분모와 분자에 $(\sqrt{1 + 4t} + 1)$을 곱합니다.
$$= \lim_{t \to 0+} \frac{(\sqrt{1 + 4t} - 1)(\sqrt{1 + 4t} + 1)}{t(\sqrt{1 + 4t} + 1)}$$
$$= \lim_{t \to 0+} \frac{(1 + 4t) - 1}{t(\sqrt{1 + 4t} + 1)}$$
$$= \lim_{t \to 0+} \frac{4t}{t(\sqrt{1 + 4t} + 1)}$$
분모와 분자의 $t$를 약분하면,
$$= \lim_{t \to 0+} \frac{4}{\sqrt{1 + 4t} + 1}$$
이제 $t \to 0$을 대입하면,
$$= \frac{4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4}{2} = 2$$
답
**② $2$**
확인해보기
만약 처음 직선의 방정식이 $y = x + t$가 아니라 **$y = 2x + t$**로 바뀐다면, 두 교점의 $x$좌표의 합인 $\alpha + \beta$의 값은 어떻게 변할까요? 그리고 이 변화가 선분 $\overline{\text{CH}}$의 길이에는 어떤 영향을 주게 될지 스스로 생각해 보세요.