어떤 문제인가
이 문제는 원의 성질과 삼각형의 기하학적 성질을 결합하여, 원하는 두 선분의 길이의 곱을 구하는 문제입니다. 도형 문제에서 자주 쓰이는 아주 강력한 도구들을 사용하게 됩니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 원의 반지름의 성질: 원의 중심에서 원 위의 어떤 점을 연결해도 그 길이는 모두 반지름 $R$로 같습니다. ($OA = OC = OD = R$)
- 코사인 법칙: 삼각형에서 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있는 공식입니다.
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
- 맞꼭지각과 평각의 성질: 두 직선이 만날 때 마주 보는 각의 크기는 같고, 일직선 위의 각의 합은 $180^\circ$ ($\pi$ 라디안)입니다.
단계별 풀이
1단계: 원의 반지름 $R$ 구하기
먼저 원의 반지름을 $R$이라고 해봅시다. 원의 중심이 $O$이므로, $OD = R$이고 $OC = R$입니다.
점 $E$는 선분 $CO$ 위에 있으므로, 선분 $OE$의 길이는 전체 반지름에서 $CE$의 길이를 뺀 것과 같습니다.
$$OE = OC - CE = R - 4$$
이제 삼각형 $OED$를 주목해 봅시다.
- $OD = R$
- $OE = R - 4$
- $ED = 3\sqrt{2}$
- $\angle OED$는 $\angle CEA$와 맞꼭지각이므로, $\angle OED = \angle CEA = \frac{3}{4}\pi$ ($135^\circ$)입니다.
삼각형 $OED$에서 코사인 법칙을 적용해 볼까요?
$$OD^2 = OE^2 + ED^2 - 2 \cdot OE \cdot ED \cdot \cos(\angle OED)$$
여기에 우리가 아는 값들을 대입합니다. ($\cos\frac{3}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 임을 기억하세요!)
$$R^2 = (R-4)^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2(R-4)(3\sqrt{2})\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$R^2 = R^2 - 8R + 16 + 18 + 6(R-4)$$
$$R^2 = R^2 - 8R + 34 + 6R - 24$$
양변에서 $R^2$을 없애고 정리하면:
$$0 = -2R + 10$$
$$2R = 10 \quad \implies \quad R = 5$$
원의 반지름 $R$은 $5$입니다! 따라서 $OE = 5 - 4 = 1$이 됩니다.
2단계: 선분 $AE$의 길이 구하기
이번에는 선분 $AC$를 구하기 위해 먼저 $AE$의 길이를 구해봅시다. 삼각형 $OEA$를 이용하겠습니다.
- $OA = R = 5$
- $OE = 1$
- $\angle OEA$는 평각($180^\circ$)에서 $\angle CEA$($135^\circ$)를 뺀 각이므로, $\angle OEA = 45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$)입니다.
구하고자 하는 $AE$의 길이를 $x$라고 두고, 삼각형 $OEA$에서 코사인 법칙을 적용합니다.
$$OA^2 = OE^2 + AE^2 - 2 \cdot OE \cdot AE \cdot \cos(45^\circ)$$
$$5^2 = 1^2 + x^2 - 2 \cdot 1 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$25 = 1 + x^2 - \sqrt{2}x$$
$$x^2 - \sqrt{2}x - 24 = 0$$
이차방정식의 근의 공식을 사용하여 $x$를 구합니다. ($x > 0$이어야 합니다.)
$$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{(-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2}$$
$$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 96}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{98}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm 7\sqrt{2}}{2}$$
길이는 양수여야 하므로:
$$x = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$
따라서, $AE = 4\sqrt{2}$입니다.
3단계: 선분 $AC$의 길이 구하기
이제 삼각형 $AEC$에서 코사인 법칙을 사용하여 $AC$의 길이를 구합니다.
- $AE = 4\sqrt{2}$
- $CE = 4$
- $\angle CEA = 135^\circ$ ($\frac{3}{4}\pi$)
$$AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2 \cdot AE \cdot CE \cdot \cos(135^\circ)$$
$$AC^2 = (4\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2(4\sqrt{2})(4)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$AC^2 = 32 + 16 + 32 = 80$$
$$AC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$
4단계: 선분 $CD$의 길이 구하기
마지막으로 삼각형 $CED$에서 코사인 법칙을 사용하여 $CD$의 길이를 구합니다.
- $CE = 4$
- $ED = 3\sqrt{2}$
- $\angle CED$는 $\angle OEA$와 맞꼭지각이므로 $\angle CED = 45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$)입니다.
$$CD^2 = CE^2 + ED^2 - 2 \cdot CE \cdot ED \cdot \cos(45^\circ)$$
$$CD^2 = 4^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2(4)(3\sqrt{2})\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$CD^2 = 16 + 18 - 24 = 10$$
$$CD = \sqrt{10}$$
5단계: $AC \times CD$ 계산하기
우리가 구한 두 선분의 길이를 곱해줍니다.
$$\overline{\text{AC}} \times \overline{\text{CD}} = 4\sqrt{5} \times \sqrt{10} = 4\sqrt{50} = 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$$
답
**⑤ $20\sqrt{2}$**
확인해보기
단계 4에서 삼각형 $CED$의 각 $\angle CED$가 $45^\circ$인 이유를 맞꼭지각의 성질과 평각의 성질을 사용하여 스스로 설명해 보세요.