어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수의 성질과 정적분, 그리고 절댓값이 포함된 정적분의 기하학적 의미를 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 인수정리를 이용한 삼차함수 식 세우기: 주어진 근을 이용하여 삼차함수를 미지수 $k$를 포함한 식으로 나타냅니다.
- 정적분과 넓이의 관계: 절댓값 기호가 있는 정적분 $\int_{0}^{1} |f(x)| dx$는 함수 $f(x)$와 $x$축 사이의 '넓이'를 뜻하며, $f(x)$의 부호에 따라 정적분 값이 어떻게 변하는지 파악해야 합니다.
- 부등식 영역에서의 추론: 조건에 따라 미지수 $k$의 범위를 구하고, 이를 통해 새로운 부등식을 이끌어냅니다.
단계별 풀이
1단계: 삼차함수 $f(x)$ 식 세우기
최고차항의 계수가 $1$이고 $f(0)=0$, $f(1)=0$이므로, $f(x)$는 $x$와 $x-1$을 인수로 가집니다. 나머지 한 근을 $k$라고 하면 $f(x)$를 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f(x) = x(x-1)(x-k)$$
이를 전개해 두면 정적분 계산이 편해집니다.
$$f(x) = x(x^2 - (k+1)x + k) = x^3 - (k+1)x^2 + kx$$
2단계: 정적분 기본 계산해 두기
풀이 과정에서 자주 쓰일 두 구간 $[-1, 0]$과 $[0, 1]$에서의 정적분을 미리 계산해 봅시다.
$f(x)$의 부정적분을 $F(x)$라 하면,
$$F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{k+1}{3}x^3 + \frac{k}{2}x^2$$
이를 이용해 두 정적분 값을 구합니다.
- **구간 $[-1, 0]$에서의 정적분:**
$$\int_{-1}^{0} f(x) dx = F(0) - F(-1) = 0 - \left( \frac{1}{4} + \frac{k+1}{3} + \frac{k}{2} \right) = -\frac{10k+7}{12}$$
- **구간 $[0, 1]$에서의 정적분:**
$$\int_{0}^{1} f(x) dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{4} - \frac{k+1}{3} + \frac{k}{2} = \frac{2k-1}{12}$$
3단계: <보기> ㄱ 검증하기
> **ㄱ. $g(0)=0$이면 $g(-1)<0$이다.**
먼저 $g(0)$의 식을 써봅시다.
$$g(0) = \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} |f(x)| dx$$
일반적으로 임의의 함수에 대해 $\int |f(x)|dx \ge \int f(x)dx$가 성립하므로, $g(0) = 0$이 되려면 구간 $[0, 1]$에서 $f(x) \ge 0$이어야 합니다.
구간 $(0, 1)$에서 $x > 0$이고 $x-1 < 0$이므로, $f(x) = x(x-1)(x-k) \ge 0$이 되려면 반드시 $x-k \le 0$이어야 합니다. 즉, 이 구간의 모든 $x$에 대해 $x \le k$여야 하므로 **$k \ge 1$**이어야 합니다.
$k \ge 1$일 때, $[0, 1]$에서 $f(x) \ge 0$이므로 $|f(x)| = f(x)$입니다.
이제 $g(-1)$을 구해봅시다.
$$g(-1) = \int_{-1}^{0} f(x) dx - \int_{0}^{1} f(x) dx$$
위에서 계산해 둔 값을 대입하면,
$$g(-1) = -\frac{10k+7}{12} - \frac{2k-1}{12} = \frac{-12k-6}{12} = -k - \frac{1}{2}$$
우리는 $k \ge 1$임을 알고 있으므로,
$$g(-1) = -k - \frac{1}{2} \le -1 - \frac{1}{2} = -1.5 < 0$$
따라서 $g(-1) < 0$은 참입니다. (ㄱ은 참)
4단계: <보기> ㄴ 검증하기
> **ㄴ. $g(-1)>0$이면 $f(k)=0$을 만족시키는 $k<-1$인 실수 $k$가 존재한다.**
$g(-1) > 0$이라는 조건이 주어졌습니다.
만약 $k \ge 1$이라면 ㄱ에서 구한 대로 $g(-1) < 0$이 되므로 조건에 모순입니다. 따라서 $k < 1$입니다.
특히 $k \le 0$인 경우를 생각해 봅시다. 이 경우 구간 $[0, 1]$에서 $x-k \ge 0$이므로 $f(x) = x(x-1)(x-k) \le 0$이 됩니다.
따라서 $[0, 1]$에서 $|f(x)| = -f(x)$가 됩니다.
이때 $g(-1)$을 계산해 보면,
$$g(-1) = \int_{-1}^{0} f(x) dx - \int_{0}^{1} (-f(x)) dx = \int_{-1}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx$$
$$g(-1) = -\frac{10k+7}{12} + \frac{2k-1}{12} = \frac{-8k-8}{12} = -\frac{2}{3}(k+1)$$
조건에서 $g(-1) > 0$이라 했으므로,
$$-\frac{2}{3}(k+1) > 0 \implies k+1 < 0 \implies k < -1$$
(참고: $0 < k < 1$인 경우에는 $[0, 1]$ 사이에서 $f(x)$의 부호가 바뀌어 $\int_{0}^{1} |f(x)|dx > \int_{0}^{1} f(x)dx$가 되고, $\int_{-1}^{0} f(x)dx < 0$이 되므로 $g(-1) < 0$이 되어 조건을 만족할 수 없습니다.)
따라서 $g(-1) > 0$을 만족하려면 반드시 $k < -1$이어야 합니다. $f(k)=0$이므로 $k < -1$인 실근이 존재합니다. (ㄴ은 참)
5단계: <보기> ㄷ 검증하기
> **ㄷ. $g(-1)>1$이면 $g(0)<-1$이다.**
ㄴ의 결과에 의해, $g(-1) > 1 > 0$이므로 우리는 이미 **$k < -1$**임을 알고 있습니다.
이 범위에서 $g(-1) = -\frac{2}{3}(k+1)$이므로,
$$-\frac{2}{3}(k+1) > 1 \implies k+1 < -1.5 \implies k < -2.5$$
이제 $g(0)$을 구해봅시다. $k < -1$이므로 구간 $[0, 1]$에서 $f(x) \le 0$입니다.
따라서 $|f(x)| = -f(x)$가 되어,
$$g(0) = \int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} (-f(x)) dx = 2\int_{0}^{1} f(x) dx$$
여기에 미리 구해둔 정적분 값을 대입하면,
$$g(0) = 2 \left( \frac{2k-1}{12} \right) = \frac{2k-1}{6}$$
우리가 구한 $k < -2.5$를 이 식에 대입하여 범위를 구해봅시다.
$$2k < -5 \implies 2k-1 < -6 \implies \frac{2k-1}{6} < -1$$
따라서 $g(0) < -1$이 성립합니다. (ㄷ은 참)
답
ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳으므로 답은 ⑤입니다.
확인해보기
함수 $f(x) = x(x-1)(x-k)$에서 만약 세 번째 근이 **$k = 0$**이라고 가정해 봅시다.
이때 구간 $[0, 1]$에서 $f(x)$의 부호(양수인지 음수인지)를 말해보고, 이를 이용해 $g(0)$의 값을 직접 계산해 보세요.