어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 따라 수열의 항들을 직접 구해보면서 수열의 규칙성을 찾아내고, 특정 조건을 만족하는 항의 개수를 세는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 수열의 귀납적 정의: 이전 항의 값에 따라 다음 항이 어떻게 결정되는지 규칙을 적용하는 능력
- 거꾸로 추적하기: 알려진 항의 값($a_4$)으로부터 이전 항($a_3, a_2, a_1$)을 거꾸로 구하는 방법
- 주기성과 블록 패턴 분석: 수열의 항들이 일정한 마디(여기서는 4개 단위)로 반복되는 규칙을 찾아내는 능력
단계별 풀이
1단계: $a_4$와 $a_8$의 관계를 이용하여 상수 $r$의 값 구하기
조건 (가)에 의해 $a_4 = r^1 = r$이고, $a_8 = r^2$입니다. 이때 $0 < |r| < 1$이므로, $|a_4| = |r| < 5$입니다.
따라서 조건 (나)의 첫 번째 식($|a_n| < 5$일 때 $a_{n+1} = a_n + 3$)을 적용하여 $a_5$부터 차례대로 구해봅시다.
- $a_4 = r$
- $a_5 = a_4 + 3 = r + 3$
* 여기서 $-1 < r < 1$이므로, $2 < r+3 < 4$가 되어 $|a_5| < 5$입니다.
- $a_6 = a_5 + 3 = r + 6$
* $2 < r+3 < 4$에 $3$을 더하면 $5 < r+6 < 7$이 되므로, $|a_6| \ge 5$입니다.
- $a_7 = -\frac{1}{2}a_6 = -\frac{1}{2}(r+6) = -\frac{1}{2}r - 3$
* $-1 < r < 1$이므로 $-0.5 < -\frac{1}{2}r < 0.5$이고, 여기에 $-3$을 더하면 $-3.5 < a_7 < -2.5$가 되어 $|a_7| < 5$입니다.
- $a_8 = a_7 + 3 = \left(-\frac{1}{2}r - 3\right) + 3 = -\frac{1}{2}r$
그런데 조건 (가)에서 $a_8 = r^2$이라고 했으므로, 다음 방정식이 성립합니다.
$$r^2 = -\frac{1}{2}r$$
$r \neq 0$이므로 양변을 $r$로 나누면,
$$r = -\frac{1}{2}$$
을 얻을 수 있습니다. 이는 $0 < |r| < 1$ 조건도 만족합니다.
2단계: $a_4$로부터 거꾸로 추적하여 첫째항 $a_1$ 구하기
이제 $a_4 = r = -\frac{1}{2}$임을 알았습니다. 조건 (나)를 거꾸로 적용하여 $a_3, a_2, a_1$을 구해봅시다.
조건 (나)의 역과정은 다음과 같습니다:
- $a_{n+1} = a_n + 3 \implies a_n = a_{n+1} - 3$ (단, $|a_n| < 5$여야 함)
- $a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n \implies a_n = -2a_{n+1}$ (단, $|a_n| \ge 5$여야 함)
**① $a_3$ 구하기**
- 경우 A: $a_3 = a_4 - 3 = -\frac{1}{2} - 3 = -\frac{7}{2} = -3.5$
* $|-3.5| < 5$이므로 성립합니다.
- 경우 B: $a_3 = -2a_4 = -2 \left(-\frac{1}{2}\right) = 1$
* $|1| \ge 5$여야 하는데 그렇지 않으므로 모순입니다.
- 따라서, $a_3 = -\frac{7}{2}$입니다.
**② $a_2$ 구하기**
- 경우 A: $a_2 = a_3 - 3 = -\frac{7}{2} - 3 = -\frac{13}{2} = -6.5$
* $|-6.5| < 5$여야 하는데 그렇지 않으므로 모순입니다.
- 경우 B: $a_2 = -2a_3 = -2 \left(-\frac{7}{2}\right) = 7$
* $|7| \ge 5$이므로 성립합니다.
- 따라서, $a_2 = 7$입니다.
**③ $a_1$ 구하기**
- 경우 A: $a_1 = a_2 - 3 = 7 - 3 = 4$
* $|4| < 5$이므로 성립하지만, 문제 조건에서 $a_1 < 0$이라고 했으므로 모순입니다.
- 경우 B: $a_1 = -2a_2 = -2(7) = -14$
* $|-14| \ge 5$이고 $a_1 < 0$이므로 성립합니다.
- 따라서, $a_1 = -14$입니다.
3단계: $|a_m| \ge 5$를 만족하는 $m$의 개수 $p$ 구하기
이제 수열의 전체적인 흐름을 파악하여 조건 $|a_m| \ge 5$를 만족하는 항이 몇 개인지 세어봅시다.
**1) 초반 항들 ($m = 1, 2, 3$)**
- $a_1 = -14 \implies |-14| \ge 5$ (만족)
- $a_2 = 7 \implies |7| \ge 5$ (만족)
- $a_3 = -3.5 \implies |-3.5| < 5$ (만족하지 않음)
**2) $m \ge 4$인 항들의 규칙성 (4개씩 블록으로 묶기)**
자연수 $k \ge 1$에 대해, $a_{4k} = \left(-\frac{1}{2}\right)^k$입니다. 이 값은 항상 절대값이 $1$보다 작습니다.
1단계에서 구한 규칙을 일반화하면 다음과 같습니다:
- $a_{4k} = \left(-\frac{1}{2}\right)^k \implies |a_{4k}| < 5$ (만족하지 않음)
- $a_{4k+1} = a_{4k} + 3 \implies 2.5 < a_{4k+1} < 3.5 \implies |a_{4k+1}| < 5$ (만족하지 않음)
- $a_{4k+2} = a_{4k+1} + 3 \implies 5.5 < a_{4k+2} < 6.5 \implies |a_{4k+2}| \ge 5$ (만족)
- $a_{4k+3} = -\frac{1}{2}a_{4k+2} \implies -3.25 < a_{4k+3} < -2.75 \implies |a_{4k+3}| < 5$ (만족하지 않음)
즉, $4$ 이상의 항들은 $\{a_{4k}, a_{4k+1}, a_{4k+2}, a_{4k+3}\}$의 4개 단위 묶음 중에서 **오직 $a_{4k+2}$ 형태의 항만** 조건을 만족합니다.
**3) $100$ 이하의 자연수 $m$에 대해 개수 세기**
- $m = 1, 2, 3$ 중 조건을 만족하는 항: $a_1, a_2$ (2개)
- $m = 4$부터 $m = 99$까지는 총 $24$개의 묶음이 존재합니다.
* 묶음의 개수: $k = 1$부터 $k = 24$까지 (즉, $a_4$부터 $a_{99}$까지)
* 각 묶음마다 조건을 만족하는 항($a_{4k+2}$)이 정확히 1개씩 존재하므로, 여기서 24개가 나옵니다.
- 마지막 남은 항 $a_{100}$은 $a_{4 \times 25}$ 형태이므로 조건을 만족하지 않습니다.
따라서 조건을 만족하는 $100$ 이하의 자연수 $m$의 개수 $p$는 다음과 같습니다.
$$p = 2 + 24 = 26$$
4단계: $p + a_1$ 계산하기
우리가 구한 값들을 더해봅시다.
$$p + a_1 = 26 + (-14) = 12$$
답
정답은 ③ 12 입니다.
확인해보기
오늘 배운 역추적 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
> 질문: 만약 문제의 조건 중 (나)에서 $a_1 < 0$이라는 조건이 없고 대신 **$a_1 > 0$**이라는 조건이 주어졌다면, 첫째항 $a_1$의 값은 무엇이 되었을까요? 그리고 이때 $p + a_1$의 값은 어떻게 변했을지 생각해보세요.