어떤 문제인가
이 문제는 로그가 포함된 방정식(로그방정식)을 푸는 문제입니다. 로그방정식을 안전하고 정확하게 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 로그의 진수 조건: 로그가 정의되기 위해서는 로그의 진수(로그 기호 안의 식)가 항상 양수여야 합니다. 문제를 풀기 전에 가장 먼저 확인해야 하는 아주 중요한 조건입니다.
- 로그의 밑 통일하기: 로그를 서로 비교하려면 밑을 같게 만들어 주어야 합니다. 여기서는 밑이 $3$과 $9$이므로, $9 = 3^2$임을 이용하여 밑을 통일합니다.
- 이차방정식의 풀이: 로그를 정리하고 나온 인수분해 가능한 이차방정식을 풀어 최종 후보 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 진수 조건 확인하기
로그 문제에서 가장 많이 하는 실수는 마지막에 진수 조건을 확인하지 않는 것입니다. 로그의 진수는 항상 $0$보다 커야 하므로, 식에 등장하는 두 진수의 범위를 먼저 구합니다.
- 첫 번째 로그의 진수 조건:
$$x - 4 > 0 \implies x > 4$$
- 두 번째 로그의 진수 조건:
$$x + 2 > 0 \implies x > -2$$
두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 우리가 구하는 $x$는 반드시 **$x > 4$** 범위에 있어야 합니다. 이 범위를 꼭 기억해 두세요!
2단계: 로그의 밑 통일하기
주어진 방정식은 다음과 같습니다.
$$\log_3(x-4) = \log_9(x+2)$$
좌변의 밑은 $3$이고, 우변의 밑은 $9$입니다. 밑을 $9$로 통일해 주면 계산이 훨씬 편해집니다. 로그의 성질 중 $\log_a b = \log_{a^2} b^2$ 공식을 이용해 봅시다. (밑과 진수를 동시에 제곱해도 로그의 값은 변하지 않습니다.)
좌변의 밑 $3$을 제곱하여 $9$로 만들면, 진수도 함께 제곱해야 합니다.
$$\log_3(x-4) = \log_{3^2}(x-4)^2 = \log_9(x-4)^2$$
이제 원래 방정식에 대입하면 다음과 같이 밑이 통일됩니다.
$$\log_9(x-4)^2 = \log_9(x+2)$$
3단계: 진수끼리 비교하여 방정식 풀기
밑이 $\log_9$로 같아졌으므로, 이제 진수끼리만 비교하면 됩니다.
$$(x-4)^2 = x+2$$
좌변을 전개하여 식을 정리해 봅시다.
$$x^2 - 8x + 16 = x + 2$$
우변의 항들을 모두 좌변으로 이항합니다.
$$x^2 - 9x + 14 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(x-2)(x-7) = 0$$
따라서 구한 $x$의 값은 다음과 같이 두 개가 나옵니다.
$$x = 2 \quad \text{또는} \quad x = 7$$
4단계: 진수 조건에 맞는 최종 답 선택하기
1단계에서 구했던 진수 조건 **$x > 4$**를 기억하나요?
구해진 두 값 중에서 이 조건을 만족하는 값을 찾아야 합니다.
- $x = 2$는 $2 > 4$가 아니므로 진수 조건을 만족하지 않습니다. (실제로 원래 식의 $\log_3(x-4)$에 $x=2$를 넣으면 $\log_3(-2)$가 되어 로그가 정의되지 않습니다.)
- $x = 7$은 $7 > 4$이므로 진수 조건을 만족합니다.
따라서 조건을 만족하는 실수는 $x = 7$ 하나뿐입니다.
답
$$x = 7$$
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 방정식 $\log_2(x-1) = \log_4(x+5)$를 풀 때, 가장 먼저 확인해야 하는 **'진수 조건'에 따른 $x$의 범위**는 무엇일까요? 그리고 이 방정식의 최종 해는 무엇이 될지 직접 풀어보세요.