어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$가 주어졌을 때, 미분의 반대 연산인 부정적분을 이용하여 원래 함수 $f(x)$를 복원하고, 특정 함숫값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 미분하기 전의 원래 함수를 찾는 과정입니다. $x^n$을 적분하면 $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$이 됩니다.
- **적분상수 ($C$)**: 미분할 때 상수항은 사라지므로, 적분할 때는 원래 어떤 상수가 있었는지 알 수 없어 상수 $C$를 붙여주어야 합니다.
- 함숫값의 대입: 주어진 조건 $f(1) = 5$를 이용해 적분상수 $C$를 구한 뒤, 최종적으로 구하고자 하는 $f(2)$를 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: $f'(x)$를 부정적분하여 원래 함수 $f(x)$의 식 세우기
도함수 $f'(x)$를 적분하면 원래 함수 $f(x)$를 얻을 수 있습니다. 부정적분 공식을 사용해 각 항을 적분해 봅시다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (6x^2 - 4x + 3) \, dx$$
각 항을 공식 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$에 맞춰 적분하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = 6 \cdot \left(\frac{1}{3}x^3\right) - 4 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) + 3x + C$$
$$f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
2단계: 조건 $f(1) = 5$를 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
위에서 구한 $f(x)$ 식에는 아직 정체를 모르는 상수 $C$가 있습니다. 문제에서 준 힌트인 $f(1) = 5$를 대입하여 $C$의 값을 찾아봅시다.
$f(x)$ 식의 $x$ 자리에 $1$을 대입합니다.
$$f(1) = 2(1)^3 - 2(1)^2 + 3(1) + C = 5$$
$$2 - 2 + 3 + C = 5$$
$$3 + C = 5$$
따라서 적분상수 $C$는 다음과 같습니다.
$$C = 2$$
이 값을 다시 $f(x)$ 식에 넣어 완벽한 함수 식을 완성합니다.
$$f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + 2$$
3단계: $f(2)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 $f(x)$에 $x = 2$를 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f(2) = 2(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2) + 2$$
$$f(2) = 2(8) - 2(4) + 6 + 2$$
$$f(2) = 16 - 8 + 6 + 2$$
$$f(2) = 16$$
답
$$16$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 질문: 함수 $g(x)$에 대하여 $g'(x) = 3x^2 + 2x$ 이고 $g(0) = 4$ 일 때, 원래 함수 $g(x)$는 무엇일까요? (적분상수 $C$를 구해서 식을 완성해 보세요.)