어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 시그마($\sum$)의 기본 성질을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 시그마의 상수배 성질: 수열에 일정한 상수 $c$가 곱해져 있을 때, 이 상수는 시그마 기호 앞으로 나올 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{n} c a_k = c \sum_{k=1}^{n} a_k$$
- 상수항의 시그마 합: 일반항이 변수 $k$와 상관없는 상수 $c$일 때, 이를 $n$번 더한 것은 $c \times n$과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{n} c = \underbrace{c + c + \dots + c}_{n\text{개}} = n \times c$$
단계별 풀이
1단계: 주어진 식의 좌변 정리하기
먼저 등식의 왼쪽 부분(좌변)인 $\sum_{k=1}^{5} c a_k$를 정리해 봅시다.
여기서 $c$는 상수이므로 시그마 성질에 의해 기호 앞으로 꺼낼 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{5} c a_k = c \sum_{k=1}^{5} a_k$$
문제에서 $\sum_{k=1}^{5} a_k = 10$이라고 알려주었으므로, 이 값을 대입하면 좌변은 다음과 같이 간단해집니다.
$$c \times 10 = 10c$$
2단계: 주어진 식의 우변 정리하기
이번에는 등식의 오른쪽 부분(우변)인 $65 + \sum_{k=1}^{5} c$를 정리해 봅시다.
우변에서 시그마 부분인 $\sum_{k=1}^{5} c$는 상수 $c$를 $k=1$부터 $5$까지 총 5번 더하라는 의미입니다.
$$\sum_{k=1}^{5} c = c + c + c + c + c = 5c$$
따라서 우변 전체 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$65 + 5c$$
3단계: 방정식 세우고 상수 $c$ 구하기
이제 정리한 좌변과 우변이 같다고 놓고 $c$에 대한 일차방정식을 풀어봅시다.
$$10c = 65 + 5c$$
양변에서 $5c$를 빼서 $c$가 있는 항을 좌변으로 모읍니다.
$$10c - 5c = 65$$
$$5c = 65$$
양변을 $5$로 나누면 우리가 구하고자 하는 상수 $c$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$c = 13$$
답
$$13$$
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 확인해 보세요.
> [질문]
> $\sum_{k=1}^{10} a_k = 8$일 때, 다음 식의 값은 얼마가 될까요?
> $$\sum_{k=1}^{10} (3a_k + 2)$$